Percorsi geometrici e boschetti

Mentre scrivevo questo articolo, mi sono ricordato di una canzone molto antica di Jan Pietrzak, che cantava prima della sua attività satirica nel cabaret Pod Egidą, riconosciuta nella Repubblica popolare polacca come una valvola di sfogo; si potrebbe onestamente ridere dei paradossi del sistema. In questa canzone, l'autore ha raccomandato la partecipazione politica socialista, ridicolizzando coloro che vogliono essere apolitici e spegnendo la radio sul giornale. "È meglio tornare a leggere a scuola", cantava ironicamente l'allora diciannovenne Petshak.

Torno a scuola a leggere. Sto rileggendo (non per la prima volta) il libro di Shchepan Yelensky (1881-1949) “Lylavati”. Per pochi lettori, la parola stessa dice qualcosa. Questo è il nome della figlia del famoso matematico indù noto come Bhaskara (1114-1185), chiamato Akaria, o il saggio che intitolò il suo libro sull'algebra con quel nome. Lilavati in seguito divenne lei stessa una rinomata matematica e filosofa. Secondo altre fonti, è stata lei stessa a scrivere il libro.

Szczepan Yelensky ha dato lo stesso titolo al suo libro sulla matematica (prima edizione, 1926). Potrebbe anche essere difficile definire questo libro un'opera matematica: era più una serie di enigmi e in gran parte riscritto da fonti francesi (i diritti d'autore in senso moderno non esistevano). In ogni caso, per molti anni è stato l'unico libro popolare polacco di matematica - in seguito vi è stato aggiunto il secondo libro di Jelensky, I dolci di Pitagora. Quindi i giovani interessati alla matematica (che è esattamente quello che ero una volta) non avevano nulla da scegliere ...

d'altra parte, "Lilavati" doveva essere conosciuto quasi a memoria... Ah, c'erano volte... Il loro più grande vantaggio era che allora ero... un adolescente. Oggi, dal punto di vista di un matematico istruito, guardo Lilavati in un modo completamente diverso, forse come uno scalatore sui tornanti del sentiero per Shpiglasova Pshelench. Né l'uno né l'altro perde il suo fascino ... Nel suo stile caratteristico, Shchepan Yelensky, che professa le cosiddette idee nazionali nella sua vita personale, scrive nella prefazione:

Senza toccare la descrizione delle caratteristiche nazionali, dirò che anche dopo novant'anni le parole di Yelensky sulla matematica non hanno perso la loro rilevanza. La matematica insegna a pensare. È un fatto. Possiamo insegnarti a pensare in modo diverso, più semplice e più bello? Forse. È solo che... non possiamo ancora. Spiego ai miei studenti che non vogliono fare matematica che questo è anche un test della loro intelligenza. Se non puoi imparare una teoria matematica molto semplice, allora... forse le tue capacità mentali sono peggiori di quanto vorremmo entrambi...?

Segni nella sabbia

Ed ecco la prima storia di "Lylavati" - una storia descritta dal filosofo francese Joseph de Maistre (1753-1821).

Un marinaio di una nave naufragata fu scagliato dalle onde su una spiaggia deserta, che considerava disabitata. Improvvisamente, nella sabbia costiera, vide la traccia di una figura geometrica disegnata davanti a qualcuno. Fu allora che si rese conto che l'isola non è deserta!

Citando de Mestri, Yelensky scrive: forma geometricasarebbe stata un'espressione muta per la sfortunata, naufraga, coincidenza, ma gli mostrò a colpo d'occhio proporzione e numero, e questo preannunciava un uomo illuminato. Questo per quanto riguarda la storia.

Nota che un marinaio provocherà la stessa reazione, ad esempio, disegnando la lettera K, ... e qualsiasi altra traccia della presenza di una persona. Qui la geometria è idealizzata.

Tuttavia, l'astronomo Camille Flammarion (1847-1925) propose che le civiltà si salutassero a distanza usando la geometria. Vi vedeva l'unico tentativo di comunicazione corretto e possibile. Mostriamo a questi marziani i triangoli pitagorici... loro ci risponderanno con Talete, noi risponderemo loro con schemi Vieta, il loro cerchio si adatterà a un triangolo, così è iniziata un'amicizia...

Scrittori come Jules Verne e Stanislav Lem sono tornati su questa idea. E nel 1972 tessere con motivi geometrici (e non solo) furono poste a bordo della sonda Pioneer, che ancora attraversa le distese dello spazio, oggi a quasi 140 unità astronomiche da noi (1 I è la distanza media della Terra dalla Terra) . Sole, cioè circa 149 milioni di km). La piastrella è stata progettata, in parte, dall'astronomo Frank Drake, creatore della controversa regola sul numero delle civiltà extraterrestri.

La geometria è incredibile. Conosciamo tutti il ​​punto di vista generale sull'origine di questa scienza. Noi (noi esseri umani) abbiamo appena iniziato a misurare la terra (e poi la terra) per gli scopi più utilitaristici. La determinazione delle distanze, il tracciamento di linee rette, la marcatura di angoli retti e il calcolo dei volumi divenne gradualmente una necessità. Da qui il tutto geometria ("Misura della terra"), quindi tutta la matematica ...

Tuttavia, per qualche tempo questo quadro chiaro della storia della scienza ci ha offuscato. Perché se la matematica fosse necessaria solo per scopi operativi, non saremmo impegnati a dimostrare semplici teoremi. "Vedete che questo dovrebbe essere assolutamente vero", si direbbe dopo aver verificato che in più triangoli rettangoli la somma dei quadrati delle ipotenuse è uguale al quadrato dell'ipotenusa. Perché un tale formalismo?

La torta di prugne deve essere deliziosa, il programma del computer deve funzionare, la macchina deve funzionare. Se ho contato la capacità della canna trenta volte e tutto è in ordine, allora perché altrimenti?

Nel frattempo, agli antichi greci venne in mente che era necessario trovare alcune prove formali.

Quindi, la matematica inizia con Talete (625-547 aC). Si presume che sia stato Mileto a chiedersi perché. Non basta alle persone intelligenti che hanno visto qualcosa, che sono convinte di qualcosa. Hanno visto la necessità di una prova, una sequenza logica di argomenti dall'ipotesi alla tesi.

Volevano anche di più. Probabilmente fu Talete che per primo cercò di spiegare i fenomeni fisici in modo naturalistico, senza l'intervento divino. La filosofia europea è iniziata con la filosofia della natura - con ciò che è già dietro la fisica (da cui il nome: metafisica). Ma le basi dell'ontologia e della filosofia naturale europee furono poste dai Pitagorici (Pitagora, c. 580-c. 500 aC).

Fondò una propria scuola a Crotone nel sud della penisola appenninica - oggi la chiameremmo setta. Scienza (nel senso attuale del termine), misticismo, religione e fantasia sono strettamente intrecciati. Thomas Mann ha presentato in modo molto bello le lezioni di matematica in una palestra tedesca nel romanzo Doctor Faustus. Tradotto da Maria Kuretskaya e Witold Virpsha, questo frammento recita:

Nell'interessante libro di Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, ho trovato un punto di vista molto interessante. In uno dei capitoli, l'autore descrive il significato della scuola pitagorica. Il titolo stesso del capitolo mi ha colpito. Si legge: "L'invenzione della matematica: i pitagorici".

Si discute spesso se si stanno scoprendo teorie matematiche (es. terre sconosciute) o inventate (es. macchine che prima non esistevano). Alcuni matematici creativi si vedono come ricercatori, altri come inventori o designer, meno spesso controbattenti.

Ma l'autore di questo libro scrive dell'invenzione della matematica in generale.

Dall'esagerazione all'illusione

Dopo questa lunga parte introduttiva, passerò all'inizio. geometriaper descrivere come un'eccessiva dipendenza dalla geometria può fuorviare uno scienziato. Johannes Kepler è conosciuto in fisica e astronomia come lo scopritore delle tre leggi del moto dei corpi celesti. In primo luogo, ogni pianeta del sistema solare si muove attorno al sole in un'orbita ellittica, in uno dei fuochi di cui è il sole. In secondo luogo, a intervalli regolari il raggio principale del pianeta, tratto dal Sole, disegna campi uguali. In terzo luogo, il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al Sole e il cubo del semiasse maggiore della sua orbita (cioè la distanza media dal Sole) è costante per tutti i pianeti del sistema solare.

Forse questa era la terza legge: richiedeva molti dati e calcoli per stabilirla, il che spinse Keplero a continuare a cercare schemi nel movimento e nella posizione dei pianeti. La storia della sua nuova "scoperta" è molto istruttiva. Fin dall'antichità, abbiamo ammirato non solo i poliedri regolari, ma anche argomenti che dimostrano che ce ne sono solo cinque nello spazio. Un poliedro tridimensionale si dice regolare se le sue facce sono poligoni regolari identici e ogni vertice ha lo stesso numero di spigoli. A titolo illustrativo, ogni angolo di un poliedro regolare dovrebbe "sembrare lo stesso". Il poliedro più famoso è il cubo. Tutti hanno visto una caviglia normale.

Il tetraedro regolare è meno noto e a scuola è chiamato piramide triangolare regolare. Sembra una piramide. I restanti tre poliedri regolari sono meno noti. Un ottaedro si forma quando colleghiamo i centri dei bordi di un cubo. Il dodecaedro e l'icosaedro sembrano già delle palle. Realizzati in morbida pelle, sarebbero comodi da scavare. Il ragionamento che non ci sono poliedri regolari oltre ai cinque solidi platonici è molto buono. Innanzitutto, ci rendiamo conto che se il corpo è regolare, allora lo stesso numero (sia q) di poligoni regolari identici deve convergere ad ogni vertice, siano p-angoli. Ora dobbiamo ricordare qual è l'angolo in un poligono regolare. Se qualcuno non si ricorda di scuola, ti ricordiamo come trovare lo schema giusto. Abbiamo fatto un viaggio dietro l'angolo. Ad ogni vertice giriamo per lo stesso angolo a. Quando giriamo attorno al poligono e torniamo al punto di partenza, abbiamo fatto p tali giri e in totale abbiamo ruotato di 360 gradi.

Ma α è un complemento di 180 gradi dell'angolo che vogliamo calcolare, ed è quindi

Abbiamo trovato la formula per l'angolo (un matematico direbbe: misure di un angolo) di un poligono regolare. Verifichiamo: nel triangolo p = 3 non c'è a

Come questo. Quando p = 4 (quadrato), allora

anche i gradi vanno bene.

Cosa otteniamo per un pentagono? Quindi cosa succede quando ci sono q poligoni, ognuno p con gli stessi angoli

 gradi discendenti in un vertice? Se fosse su un piano, si formerebbe un angolo

gradi e non può essere superiore a 360 gradi, perché in tal caso i poligoni si sovrappongono.

Tuttavia, poiché questi poligoni si incontrano nello spazio, l'angolo deve essere inferiore all'angolo completo.

Ed ecco la disuguaglianza da cui tutto segue:

Dividilo per 180, moltiplica entrambe le parti per p, ordine (p-2) (q-2) < 4. Cosa segue? Siamo consapevoli che p e q devono essere numeri naturali e che p > 2 (perché? E cos'è p?) e anche q > 2. Non ci sono molti modi per rendere il prodotto di due numeri naturali minore di 4. Noi Li elencherò tutti nella tabella 1.

Non pubblico disegni, tutti possono vedere queste figure su Internet... Su Internet... Non rifiuterò una digressione lirica - forse è interessante per i giovani lettori. Nel 1970 ho parlato a un seminario. L'argomento era difficile. Avevo poco tempo per prepararmi, mi sedevo la sera. L'articolo principale era di sola lettura. Il posto era accogliente, con un'atmosfera lavorativa, beh, chiudeva alle sette. Poi la sposa (ora mia moglie) si è offerta di riscrivere l'intero articolo per me: una dozzina di pagine stampate. L'ho copiato (no, non con una penna d'oca, avevamo anche le penne), la conferenza è stata un successo. Oggi ho cercato di trovare questa pubblicazione, che è già vecchia. Ricordo solo il nome dell'autore... Le ricerche su Internet sono durate a lungo... ben quindici minuti. Ci penso con un sorrisetto e un piccolo rammarico ingiustificato.

Torniamo a Keplera e geometria. Apparentemente, Platone predisse l'esistenza della quinta forma regolare perché gli mancava qualcosa di unificante, che coprisse il mondo intero. Forse è per questo che ha incaricato uno studente (Theajtet) di cercarla. Com'era, così era, sulla base del quale fu scoperto il dodecaedro. Chiamiamo questo atteggiamento di Platone panteismo. Tutti gli scienziati, fino a Newton, vi hanno ceduto in misura maggiore o minore. A partire dal diciottesimo secolo altamente razionale, la sua influenza è drasticamente diminuita, anche se non dobbiamo vergognarci del fatto che in un modo o nell'altro soccombiamo tutti ad esso.

Nel concetto di Keplero di costruire il sistema solare tutto era corretto, i dati sperimentali coincidevano con la teoria, la teoria era logicamente coerente, molto bella... ma completamente falsa. Ai suoi tempi si conoscevano solo sei pianeti: Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove e Saturno. Perché ci sono solo sei pianeti? chiese Keplero. E quale regolarità determina la loro distanza dal Sole? Dava per scontato che tutto fosse connesso, quello geometria e cosmogonia sono strettamente legati tra loro. Dagli scritti degli antichi greci sapeva che c'erano solo cinque poliedri regolari. Vide che c'erano cinque vuoti tra le sei orbite. Quindi forse ognuno di questi spazi liberi corrisponde a qualche poliedro regolare?

Dopo diversi anni di osservazione e lavoro teorico, creò la seguente teoria, con l'aiuto della quale calcolò in modo abbastanza accurato le dimensioni delle orbite, che presentò nel libro "Mysterium Cosmographicum", pubblicato nel 1596: Immagina una sfera gigante, il cui diametro è il diametro dell'orbita di Mercurio nel suo moto annuale attorno al sole. Quindi immagina che su questa sfera ci sia un ottaedro regolare, su di essa una sfera, su di essa un icosaedro, su di essa di nuovo una sfera, su di essa un dodecaedro, su di essa un'altra sfera, su di essa un tetraedro, poi ancora una sfera, un cubo e, infine, su questo cubo è descritta la pallina.

Keplero concluse che i diametri di queste sfere successive erano i diametri delle orbite di altri pianeti: Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove e Saturno. La teoria sembrava essere molto accurata. Purtroppo, questo ha coinciso con i dati sperimentali. E quale migliore prova della correttezza di una teoria matematica se non la sua corrispondenza con dati sperimentali o dati osservativi, soprattutto "presi dal cielo"? Riassumo questi calcoli nella Tabella 2. Quindi cosa ha fatto Keplero? Ho provato e riprovato finché non ha funzionato, cioè quando la configurazione (ordine delle sfere) ei calcoli risultanti coincidevano con i dati osservativi. Ecco le figure e i calcoli moderni di Keplero:

Si può soccombere al fascino della teoria e credere che le misurazioni nel cielo siano imprecise, e non i calcoli fatti nel silenzio del laboratorio. Sfortunatamente, oggi sappiamo che ci sono almeno nove pianeti e che tutte le coincidenze dei risultati sono solo una coincidenza. Un peccato. Era così bello...