Come ingannare, manipolare e presentarsi in una luce favorevole nella grandezza della matematica?

All'inizio di novembre 2020, Mateusz Morawiecki ha riferito ai matematici del Center for Mathematical Modeling di aver dimostrato che lo sciopero delle donne ha causato un aumento delle infezioni di 5000. Ho amici in questo Centro: hanno saputo solo che l'avevano previsto da un discorso del sig. - a Mateusz.

Vorrei sottolineare che, forse contrariamente al titolo dell'articolo, non loderò né criticherò l'attuale presidente del Consiglio. penso che математика non è il suo forte, ma una tale deficienza intellettuale non solleverà obiezioni alla maggior parte di voi. E in generale, un grande matematico non sarebbe in una posizione di responsabilità, ma non saggio nella vita e nella politica? Menzionerò anche che Donald Tusk, nella sua precedente campagna presidenziale, disse (come scherzando): "non puoi scrivere esami di matematica senza scaricare". Sai, la nuvola matematica è il tuo uomo, proprio come me. Julian Tuwim era snob riguardo alla sua ignoranza della matematica. E mi hanno chiamato al consiglio. Noterò solo che abbiamo avuto una prima in matematica in Polonia. Fu (cinque volte) Kazimierz Bartel, 1882-1941, rettore del Politecnico di Leopoli, ottimo geometra. Non posso e non tento di giudicare il suo regno.

Pulire la bocca è versatile e vecchio. Libri, sottili e spessi, sono stati scritti su di esso. Ci sono molti modi, ne parlerò di alcuni, inizierò con quelli cuciti con fili spessi. Forse in passato c'erano ancora più metodi del genere, perché nel monumentale e primo dizionario della lingua polacca nel suo genere Samuel Bogumil Linde (pubblicato nel 1807-1814) leggiamo:

matematico, matematico matematico, giocoliere matematico.

Non conosciamo le azioni più semplici e vogliamo davvero metterci alla prova. Alcuni anni fa, un giornalista di Olsztyn ha scritto una lunga denuncia su come i produttori ci stiano ingannando. Ad esempio: su una confezione di burro c'è scritto "contenuto di grassi 85 percento" - è l'85 percento in un cubo o in un chilogrammo? Tutta la Polonia cinguettò. Ma solo gli insegnanti di matematica intelligenti (cioè tutti gli insegnanti di matematica!) hanno notato un errore nel ragionamento di uno dei nostri ex primi ministri, Kazimir Martsinkevich, molti anni fa. Cambierò un po' i numeri per renderli più facili da vedere. Ha detto qualcosa del genere: abbiamo speso 150 milioni di zloty per la costruzione di strade e ne abbiamo ricevuti 50 da Bruxelles, quindi ne spenderemo solo 100. Abbiamo risparmiato il 50%. Bene, 50/100 è il 50 percento. Dov'è l'errore? E se avessimo 100 milioni, quanto risparmieremmo? L'errore è sottile. A proposito di percentuali, è importante chiarire da dove le prendiamo. Questo è un errore molto comune che fanno gli insegnanti. Dicono che una percentuale è un centesimo. Questo non è permesso! Al cento per cento, ma è sempre qualcosa. Se spendiamo 150 e ne spendiamo 100, risparmiamo 50 su 150, che è il 33%. Il primo ministro Martsinkevich era un insegnante di fisica. O era un pessimo insegnante da non capire le percentuali, oppure le manipolava deliberatamente per ottenere il miglior effetto politico. In realtà preferirei quest'ultimo. Lascia che ti ricordi un aneddoto molto antico, prima della guerra. “Papà, oggi ho risparmiato 20 centesimi!” "È molto buono, figliolo! Come? "Non sono andato a scuola in tram, gli sono corso dietro!" "Ah, figliolo, corri per la seconda volta a prendere un taxi: risparmierai 5 zloty!"

Idee, idee! La maggior parte delle idee della cosiddetta contabilità creativa si basano su scappatoie legali (legge scritta sul ginocchio = merda) e si discostano dalla nozione di media. Ecco un esempio: come si può aumentare il salario di tutti abbassando il salario medio? Semplice: dai un piccolo aumento a chi sta già lavorando, e così facendo assumi tante persone sottopagate. La media diminuirà... e secondo i termini del conto salariale globale, era fuori questione. Presumibilmente, fino al 1989, un certo direttore di un'impresa statale si comportava in questo modo.

Puoi combattere direttamente, usando l'analfabetismo matematico di molti ambienti della società e combinando la matematica (??) con la letteratura (??). Ecco un testo demagogico ma di fantasia (sebbene basato su una pubblicazione reale, prima del 2010 per l'attenzione).

Le infermiere staranno meglio. Due anni fa, lo stipendio netto medio di un'infermiera nella contea di Sochaczew era di 1500 PLN. L'anno scorso, il governo ha aumentato la spesa sanitaria di mezzo miliardo di zloty. Questo sarà il doppio rispetto agli anni precedenti. Hermenegilda Kotsyubinskaja, un'infermiera del Central Clinical Hospital, dice: il mese scorso il mio stipendio era di 4500 PLN. Ciò significa un enorme, triplicato aumento dei ricavi dell'assistenza sanitaria.

C'è qualcuno da ingannare? Anche se i numeri sono gli stessi, puoi vedere cosa stiamo confrontando qui. stipendio medio all'ospedale provinciale con lo stipendio di una persona al mese. Forse Hermenegilda è il capo delle infermiere, forse ha avuto molti turni extra questo mese, e inoltre, il CRH ha una scala salariale speciale? Inoltre, i menzionati 1500 PLN sono salari netti e non è specificato se lo stipendio della signora Kociubinska sia netto o lordo. Mezzo miliardo è una cifra enorme per un individuo, ma cosa significa a livello nazionale? Notiamo subito che "mezzo miliardo" suona meglio di propaganda di "500 milioni". A cosa sono andati 500 milioni di zloty non è riportato. Non si sa perché 500 milioni di zł il doppio.

Come posso migliorare i miei risultati di apprendimento? La scuola X è criticata dalle autorità educative per scarsi risultati educativi (cioè un GPA basso, sebbene queste siano cose diverse!). Il preside trova un modo per migliorare un po' le cose. Trasferisce diversi studenti dalla classe A alla classe B e raggiunge il suo obiettivo: il punteggio medio in entrambe le classi è aumentato.

Com'è possibile? Se nella classe A c'è uno studente il cui GPA è inferiore alla media della classe A, ma superiore alla media della classe C, spostarlo nella classe B avrà lo stesso effetto. La fede si basa su questo effetto Mechislav Chuma i Leshek Mazan, autori della "Galician Encyclopedia" (casa editrice "Anabasis", Cracovia), che il giorno in cui Sigismondo III Vasa e la sua corte si trasferirono a Varsavia, il livello medio di intelligence aumentò in entrambe queste città.

Tendiamo a interpretare i dati. Questo è il tratto non elementare più comune. Inizierò con l'esempio più stupido, ma affidabile. Molti, molti anni fa, l'ormai defunto Express Wieczorny riferì che lo stipendio medio all'Università di Varsavia sarebbe stato di 15000 24 złoty (poi złoty). Il rettore avrebbe dovuto ricevere lo stipendio più alto, 6, l'assistente alle prime armi più basso, 15. In media XNUMX!!! manomissione il concetto di media è un argomento di abilitazione.

Ecco altri due esempi. Sai che la persona media in Polonia ha meno di due gambe? Ebbene sì: c'è chi ne ha uno, ma nessuno ne ha tre! Il secondo esempio è più sottile. Bene, io e mia moglie abbiamo le nostre auto. Il mio trasportino consuma molto carburante, 12,5 litri per 100 km. Ciò significa che per 100 km ho bisogno di 8 litri. Mia moglie ha una minuscola Mitsubishi: consuma 8 litri ogni 100 km. Anche questo è molto, ma affinché i calcoli siano semplici, i dati devono essere elaborati un po '. Spesso guidiamo lo stesso. Pertanto, il consumo medio di carburante delle nostre due auto è la media aritmetica di 8 e 12,5. Somma, dividi per 2. Risulta 10,25 litri. Certo, è importante che spesso guidiamo allo stesso modo. Quindi dov'è lo spazio per la manipolazione?

Oh, ecco. Lo sapevi che il consumo di carburante negli Stati Uniti viene calcolato in modo diverso? Risponderanno: "Guido così tante miglia da un gallone". Lasciamo la conversione dei galloni in litri e delle miglia in chilometri, ma applichiamola alle suddette auto: la mia e la Our Marriage's Sole Review Board. Percorrerò solo 8 km al litro (100 diviso 12,5), mia moglie 12,5 km (100 diviso 8). In media un litro ci porterà... la media aritmetica di queste cifre. L'abbiamo già calcolato una volta. Risulta 10 e un quarto, questa volta 10,25 chilometri.

Torniamo agli standard europei. Se percorro 10,25 km con un litro, quanti litri ti servono per 100? Prendiamo una calcolatrice: 100 diviso 10,25 fa... 9,76. Il consumo medio delle nostre auto è di 9,76 ... e prima era di 10,25. Dov'è l'errore? NO! In realtà, non in matematica, ma nell'interpretazione delle parole "viaggiamo ugualmente spesso". Un'attenta analisi mostrerà che nella prima interpretazione ciò significa "percorriamo lo stesso numero di chilometri al mese", e nella seconda "usiamo la stessa quantità di benzina". Si potrebbe aggiungere una terza variabile: passiamo la stessa quantità di tempo alla guida (la moglie guida molto più velocemente)… e sarebbe diverso. Se stiamo misurando qualcosa, dobbiamo avere un metro a nastro.

situazioni più sottili. Il paradosso di Simpson. Esploriamo cosa è meglio rimuovere la forfora: Coca-Cola o Pepsi-Cola. Testiamo su donne e uomini. Ecco i dati. Quasi tutti i calcoli possono essere eseguiti in memoria.

Per favore, lettore, siediti. Solo per non cadere fuori dal sentimento. Qual è la bevanda migliore per rimuovere la forfora negli uomini? Ho segnato i numeri più grandi in rosso e quelli più piccoli in blu. 25 è più di 20, giusto? Signori: comprate Coca Cola per la forfora! E le donne? Probabilmente il contrario? No, 60> 53. Signore, bevete una Coca-Cola.

L'azienda acquista pubblicità in televisione, dove una coppia felice (alla vecchia maniera: un uomo e una donna) si libera di questa lieve afflizione con l'aiuto della Coca-Cola. Ma c'è una pubblicità della Pepsi. Bene, perché c'erano 250 persone al test sia qui che qui, il che significa che erano equamente divise. Coca-Cola ha aiutato 80 persone (32%), Pepsi ha aiutato 100 persone, 40%. Sullo schermo, la folla perde la forfora mentre una lattina di Pepsi rotola davanti alla telecamera. “La nostra generazione ha già scelto!”

Dov'è l'errore? No. Voglio dire, la matematica va bene. O meglio semplicemente aritmetica. Per essere matematicamente corretti, dobbiamo prelevare campioni comparabili con la stessa proporzione di M di K. Altrimenti i calcoli non hanno senso, come se stessimo calcolando il peso medio di una zanzara e di un elefante. Possiamo sommare e dividere per due. Cosa abbiamo calcolato? Bene, il peso medio di una zanzara e di un elefante. Cosa ci darà? Un filo.

Ma portiamolo in politica, negli Stati Uniti, ovviamente. I sostenitori di uno dei candidati, dicono Bump, piangerebbero: siamo migliori sia per le signore che per i signori. Vota Jozef Podskok! I sostenitori di Triden scriverebbero sugli striscioni: Siamo i migliori al mondo. Vota anatra con 3 tane (Donald).

Ok, com'è davvero? Questa è la parte più difficile. Cosa significa "davvero"? Possiamo dire: "Vero è ciò che concorda con la realtà". Tuttavia, sorge un'altra domanda: come misurare la "corrispondenza alla realtà"? Ma questa non è più matematica, e vorrei attenermi ad essa, perché solo qui mi sento fiducioso.

A proposito di questo paradosso (chiamato Il paradosso di Simpson) si basa su molti, molti altri. È noto in matematica da cento anni, ma (relativamente) recentemente le scienze sociali se ne sono interessate. Tutto è iniziato con il fatto che in una delle università americane il rettore ha notato che le ragazze venivano accettate molto meno dei ragazzi. Ha chiesto rapporti ai presidi... e si è scoperto che in ogni facoltà il rapporto tra accettati e candidati era più alto per le ragazze che per i ragazzi - e tutto il contrario. Raccomando al lettore di riformulare l'esempio di Pepsi e Coca-Cola alla situazione dei dipartimenti universitari.

Una situazione ancora più sottile. Tutti nel mondo matematico conoscono "l'esempio del Nebraska". Da qualche parte nel Nebraska, un negozio è stato saccheggiato e un registratore di cassa è stato derubato. I testimoni hanno solo ricordato che ciò è stato fatto da una strana coppia: un uomo dalla pelle scura con la barba e una donna dai lineamenti orientali. Sono partiti (pneumatici che stridono come nel film) su una Toyota gialla. Poche ore dopo, la polizia ha arrestato ... una Toyota gialla, in cui c'era un afroamericano con la barba, accompagnato da una donna asiatica. "Sei tu!". Manette, tribunale. Un matematico esperto ha calcolato che un tale set (negro + asiatico + Toyota giallo) è così unico che il 99,999% dei ladri è ricercato. Gettava in sala termini a memoria: eventi elementari, diagramma di Bernoulli, congiunzione. La coppia andò a sedersi. Tuttavia, hanno assunto il miglior matematico, che ha detto in un appello: “Bene. Giudica tu stesso, il mio predecessore ha calcolato che la probabilità che un'auto incontrata casualmente con due passeggeri sia una Toyota gialla con una nera e una donna giapponese è così e così. Ma qui dobbiamo risolvere un altro problema, la probabilità condizionata. Qual è la probabilità di incontrare un'altra coppia (o tre, se accendi la macchina), se sappiamo che esiste già. »

Non sappiamo se il giudice abbia capito qualcuno degli argomenti. Forse solo che la risposta dipende dalla scelta della situazione. Questo era abbastanza. Ha annullato la sentenza.

Un colpo alla testa con un palo. Abbiamo sempre trattato tale demagogia (1).

I bar sono terribili: i prezzi del carbone sono raddoppiati. Guardare i numeri è rassicurante: sono infatti passati da 161 PLN per tonnellata a 169 PLN (esercizio: di quale percentuale?). Ma poiché la maggior parte delle persone impara visivamente, ricorderà il grafico, non i numeri. Senza entrare in discussioni politiche, devo dire che un metodo simile è stato utilizzato dal governo (quello dell'estate 2020), immaginando un aumento della spesa per i tumori. Questa non è una critica a questo governo. Anche il prossimo utilizzerà questo metodo. È sicuro e dà un effetto immediato ("visto").

Indossiamo le mascherine. Le leggi della diffusione delle epidemie sono semplici e "in se stesse" inesorabili. Il numero di persone infette sta crescendo più velocemente, più ce ne sono già. Ecco come va la valanga. Questo è ciò che dice la matematica. C'è, tuttavia, un grande "ma" - forse più di uno. Primo, è così, mentre "non succede niente". Quando la valanga nella foresta sarà fermata, quando l'epidemia sarà rallentata dal saggio comportamento di tutti noi, allora non "ringrazieremo" tanto la matematica quanto creeremo un modello diverso. Sì, un modello matematico diverso (come nell'esempio della rapina in un negozio del Nebraska). La matematica, una scienza bellissima, aiuta solo a capire il mondo. Tanti, ma solo tanti. Vediamo: saltiamo quasi sei metri con un palo, senza non riusciamo nemmeno a saltare 2,50. Quindi prendi il palo in mano e salta. È un gran fastidio, vero?

utilizzare matematica nelle scienze sociali è difficile, pericoloso e, peggio ancora, allettante. Gli intenditori dei Tatra lo associano al burrone di Drege: una dolce discesa erbosa da Garnets a Chyorny Stav ... Ecco come appare dall'alto. Presto il burrone si trasforma in una trappola dalla quale solo TOPR, il Tatra Volunteer Rescue Service, può salvarci.

I matematici chiamano questo aumento di valanghe ed epidemie crescita esponenziale. Come ho già scritto, questa crescita può essere soppressa, ma non di nuovo. Tuttavia, diamo un'occhiata a due grafici della stessa curva (solo su una scala diversa). Chi capirà, do la formula di questa funzione: y = 2^xdue al potere. Si prega di guardare i grafici. Da quale punto avviene la rapida accelerazione della crescita? Tutti indicheranno: è più o meno vicino al punto contrassegnato da un punto grande. Ma sul primo grafico questo valore è vicino a 1,5, sul secondo è maggiore di 3 e sul terzo è 4,5. Se poi ci saranno delle manifestazioni di piazza, allora possiamo dire: per favore, dal momento della manifestazione, la curva è salita, è salita bruscamente. Nella gloria della matematica! E questa è solo una proprietà della curva esponenziale. La scala e il punto corrispondenti da cui inizia l'accelerazione rapida possono essere scelti liberamente (2).

Elezioni presidenziali... negli Stati Uniti, ovviamente. Ricordiamo ancora la farsa di novembre 2020. Il paese, che è ancora la potenza n. 1, non ha affrontato il conteggio delle pagine. Alla fine si è scoperto che Joe Biden non solo ha ottenuto più voti elettorali, ma avrebbe vinto se la decisione fosse stata presa a maggioranza semplice. Nella situazione che descriverò, non c'è manipolazione matematica - solo un esempio di come il risultato delle elezioni possa dipendere dalla risoluzione adottata. Se lo sai, è difficile protestare. Un difensore nel calcio può considerare sbagliato il divieto di pallamano, ma se viene ignorato, verrà assegnato un rigore.

Immaginate che i seguenti candidati si candidino alla presidenza della Grecia: Apollonio, Euclide, airone, Pitagora i Tale. Chi sceglierà gli elettori diventerà presidente. Sono 100. Sono stati eletti con voto popolare, quindi i partiti rappresentati in Parlamento, cioè il Circo Massimo, hanno stabilito l'ordine delle loro preferenze. Qualcosa non va perché Circus Maximus è un nome latino, non greco. Ma non discutiamo con le fonti.

Chi diventerà presidente? Vediamo come dipende dall'ordinazione. Le preferenze del partito vanno intese in modo tale che i suoi elettori votino per la prima persona della lista rimasta alle elezioni dopo il turno successivo.

Se la sentenza prevede che vince il candidato che mette al primo posto il maggior numero di elettori, vincerà Pitagora, perché sarà eletto da 25 + 9 = 34 elettori. Questo è ciò che accade a scuola quando scegliamo, ad esempio, lo studente migliore. Al nostro posto: Pitagora è eletto dal popolo!
Nelle moderne elezioni presidenziali, viene spesso utilizzato il sistema del secondo turno. Votiamo per un candidato, ma se nessuno di loro supera il 50 per cento, si tiene un secondo turno. Il vincitore è colui che ottiene la maggioranza assoluta dei voti, cioè semplicemente più voti del suo avversario. In questo scenario, Pitagora (34 voti) e Talete (20) passeranno al secondo turno. Nel secondo turno, gli elettori distribuiscono i loro voti in base alle loro preferenze. Tutti tranne i Pitagorici preferiscono Talete a Pitagora. Questa è una situazione comune in cui un partito ha un elettorato duro ed è circondato da una riluttanza generale. Quindi nei tempi supplementari Pitagora non riceverà un solo voto. Risultato 66:34 a favore di Talete e una vittoria decisiva. Una situazione simile si è verificata nel 2001 in Slovacchia, dove un candidato che ha chiaramente vinto il primo turno ha perso al secondo. È stato simile alle elezioni presidenziali in Polonia del 2005: il leader è stato sconfitto al secondo turno dopo il primo turno. Viva i racconti presidenziali!
Nel ciclismo viene utilizzato il cosiddetto sistema australiano. Dopo ogni giro di pista, l'ultimo viene eliminato. Questa versione della legge elettorale è chiamata "elezione dei direttori". Con questo sistema fu eletto il primo presidente della Polonia indipendente, Gabriel Narutowicz. Come sarebbe nella nostra Grecia?

La faccenda è più complicata. Si prega di tenere traccia. Al primo turno, Euclide ha ricevuto il minor numero di voti e si è ritirato (che peccato, un matematico così bravo!). Il partito vota quindi al secondo turno per il secondo della sua lista: Tsaplya. Al secondo turno Heron ha 19 + 10 = 29 voti. Apollonio viene eliminato (17 voti). Partito, e poi voto per Airone. Al terzo turno Pitagora (elettorato fisso) ha 34 voti, Talete 20 e Airone 29 + 17 = 46 voti. Le storie sono uscite. Anche ai Falesi (Partito B) non piacciono i Pitagorici: preferiscono gli araldi. Anche altri, ad eccezione dei partiti stabili A ed E. Nel turno finale, Erone sconfigge facilmente Pitagora 66:34. Vivat Presidente Heron!

4. All'Eurovision Song Contest sono stati assegnati 12 punti per il primo posto della lista, 10 per il secondo posto, 9 per il terzo e così via. Assumiamo circa lo stesso punteggio 6-4-3-2-1. Quindi i punti sono stati assegnati in tre partite di atletica leggera (tre squadre, due giocatori in ogni competizione, nel 1958 la Polonia ha vinto contro USA e Gran Bretagna!). I nostri risultati saranno i seguenti:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Greci, ecco il vostro Presidente Euclide!

5. I lettori suppongono che dobbiamo solo contare i voti in modo che risulti che Apollonio è il migliore. In effetti, Apollonio è il migliore, perché è il migliore. Tutti perdono ad Apollonio! Come mai?

Per quanti elettori posero Apollonio al di sopra di Erone? Calcoliamo: 25+17+9=51 significa maggioranza. Non molto, ma comunque.

Quanto dista Apollonio davanti a Euclide? 20 + 19 + 17 = 56, la maggior parte.

Quanti preferiscono Apollonio a Talete: 19+17+10+9=55>50.

Infine, Apollonio di Pitagora preferisce 20 + 19 + 17 + 10 = 66 elettori su 100.

Da allora - il popolo greco, capace di pensare logicamente - da allora, soprattutto, Apollonio preferisce qualsiasi altro candidato; dopotutto, è lui che dovrebbe governarci per il prossimo mandato! Avvicinati, Apollonio, nostro Presidente eletto! Sarai il nostro 44