Coronavirus e didattica della matematica – Raccolte parzialmente commissionate

Il virus che ci ha colpito sta guidando una rapida riforma dell'istruzione. soprattutto ai livelli di istruzione superiori. Su questo argomento si può scrivere un saggio più lungo, ci sarà sicuramente una fiumana di tesi di dottorato sulla metodologia della didattica a distanza. Da un certo punto di vista si tratta di un ritorno alle radici e alle abitudini dimenticate dell'autoapprendimento. Così fu, ad esempio, nella scuola secondaria di Kremenets (a Kremenets, ora in Ucraina, che esisteva nel 1805-31, vegetava fino al 1914 e conobbe il suo apice nel 1922-1939). Gli studenti studiavano lì da soli - solo dopo aver imparato gli insegnanti arrivavano con correzioni, chiarimenti finali, aiuto nei punti difficili, ecc. e) Quando sono diventato uno studente, hanno anche detto che dovremmo acquisire conoscenze da soli, che solo ordinare e inviare lezioni all'università. Ma allora era solo una teoria...

Nella primavera del 2020, non sono l'unico a scoprire che le lezioni (comprese lezioni, esercitazioni, ecc.) possono essere svolte in modo molto efficace da remoto (Google Meet, Microsoft Teams, ecc.), a costo di molto lavoro da parte dell'insegnante e solo un desiderio di "fare un'istruzione" dall'altra parte; ma anche con una certa comodità: mi siedo a casa, sulla mia sedia, e nelle lezioni tradizionali gli studenti spesso facevano anche qualcos'altro. L'effetto di tale formazione può essere anche migliore rispetto al tradizionale sistema di lezioni in classe, risalente al Medioevo. Cosa resterà di lui quando il virus andrà all'inferno? Penso... parecchio. Ma vedremo.

Oggi parlerò di set parzialmente ordinati. È semplice. Poiché una relazione binaria in un insieme X non vuoto è chiamata relazione di ordine parziale quando esiste

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filosofo,

Presidente dell'Accademia polacca delle scienze nel 1957-1962).

1. Riflessivo, cioè per ogni ∈ c'è ",
2. Passante, cioè se ", e ", allora ",
3. Semi-asimmetrico, ad es («∧«)→ =

Una stringa è un insieme con la seguente proprietà: per due elementi qualsiasi, questo insieme è "o y". Anticatena è...

Basta basta! Si può capire qualcosa di tutto questo? Ovviamente è. Ma qualcuno dei Lettori (sapendo diversamente) ha già capito cosa c'è qui?

Non penso! E questo è il canone dell'insegnamento della matematica. Anche a scuola. Innanzitutto, una definizione decente e rigorosa, quindi coloro che non si sono addormentati per noia capiranno sicuramente qualcosa. Questo metodo è stato imposto dai "grandi" insegnanti di matematica. Deve essere attento e severo. È vero che alla fine dovrebbe essere così. La matematica deve essere una scienza esatta (Guarda anche: ).

Devo confessare che all'università dove lavoro dopo essermi ritirato dall'Università di Varsavia, ho anche insegnato per tanti anni. Solo che dentro c'era il famigerato secchio dell'acqua fredda (lascia che rimanga così: c'era bisogno di un secchio!). Improvvisamente, l'elevata astrazione divenne leggera e piacevole. Impostare l'attenzione: facile non significa facile. Anche il pugile leggero ha difficoltà.

Sorrido ai miei ricordi. Mi insegnò le basi della matematica dall'allora preside del dipartimento, un matematico di prim'ordine appena arrivato da un lungo soggiorno negli Stati Uniti, che in quel momento era qualcosa di straordinario in sé. Penso che fosse un po' snob quando ha dimenticato un po' il polacco. Ha abusato del vecchio polacco "cosa", "quindi", "azalea" e ha coniato il termine: "relazione semi-asimmetrica". Mi piace usarlo, è davvero preciso. Mi piace. Ma non lo richiedo agli studenti. Questo è comunemente indicato come "bassa antisimmetria". Dieci bellissime.

Tanto tempo fa, perché negli anni Settanta (del secolo scorso) c'è stata una grande, gioiosa riforma dell'insegnamento della matematica. Ciò coincise con l'inizio del breve periodo del regno di Eduard Gierek, una certa apertura del nostro paese al mondo. "Ai bambini si può anche insegnare la matematica superiore", esclamarono i Grandi Maestri. È stato compilato un riassunto della lezione universitaria "Fondamenti di matematica" per i bambini. Questa era una tendenza non solo in Polonia, ma in tutta Europa. Risolvere l'equazione non bastava, bisognava spiegare ogni dettaglio. Per non essere infondato, ciascuno dei lettori può risolvere il sistema di equazioni:

ma gli studenti dovevano giustificare ogni passaggio, fare riferimento a dichiarazioni rilevanti, ecc. Questo era un classico eccesso di forma sul contenuto. È facile per me criticare ora. Anch'io una volta ero un sostenitore di questo approccio. È eccitante... per i giovani appassionati di matematica. Questo, ovviamente, era (e, per amor di attenzione, io).

Ma basta digressione, mettiamoci al lavoro: una lezione che era "teoricamente" destinata agli studenti del secondo anno del Politecnico e sarebbe stata secca come scaglie di cocco se non fosse stato per lei. sto un po' esagerando...

Buongiorno a te. L'argomento di oggi è la pulizia parziale. No, questo non è un accenno di pulizia incurante. Il miglior confronto sarebbe considerare quale sia meglio: zuppa di pomodoro o torta alla crema. La risposta è chiara: a seconda di cosa. Per dessert - biscotti e per un piatto nutriente: zuppa.

In matematica ci occupiamo di numeri. Sono ordinati: sono maggiori e minori, ma di due numeri diversi, uno è sempre minore, il che significa che l'altro è maggiore. Sono disposti in ordine, come le lettere dell'alfabeto. Nel diario di classe, l'ordine può essere il seguente: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (sono amici e compagni di classe della mia classe!). Non abbiamo nemmeno dubbi sul fatto che Matusiak "Matushelyansky" Matuszewski "Matisyak. Il simbolo della "doppia disuguaglianza" ha il significato di "prima".

Nel mio club di viaggio, proviamo a fare gli elenchi in ordine alfabetico, ma per nome, ad esempio, Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz, ecc. Nei registri ufficiali, l'ordine sarebbe invertito. I matematici si riferiscono all'ordine alfabetico come lessicografico (un lessico è più o meno come un dizionario). D'altra parte, un tale ordine, in cui in un nome composto da due parti (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) guardiamo prima alla seconda parte, è un ordine antilessicografico per matematici. Titoli lunghi, ma contenuti molto semplici.

1. Ordine lineare: stazioni e fermate della ferrovia Habovka-Zakopane da Podhale, costruita nel 1899 (lascio al lettore la decodifica delle abbreviazioni).

Tutti questi ordini sono chiamati ordini di linea. Ordiniamo a turno: primo, secondo, terzo. Tutto è in ordine, dal primo all'ultimo punto. Non ha sempre senso. Dopotutto, sistemiamo i libri in biblioteca non in questo modo, ma in sezioni. Solo all'interno del reparto ci si dispone in modo lineare (solitamente in ordine alfabetico).

2. Ordine lineare: all'avvio del motore dell'auto, eseguiamo le azioni in un ordine coerente.

Con progetti più grandi, soprattutto nel lavoro di squadra, non abbiamo più un ordine lineare. Guardiamo Fico. 3. Vogliamo costruire un piccolo albergo. Abbiamo già soldi (cella 0). Elaboriamo permessi, raccogliamo materiali, iniziamo i lavori, e contemporaneamente realizziamo una campagna pubblicitaria, cerchiamo dipendenti, e chi più ne ha più ne metta. Quando raggiungiamo "10", i primi ospiti possono fare il check-in (un esempio dai racconti del signor Dombrowski e del loro piccolo hotel alla periferia di Cracovia). abbiamo ordine non lineare – alcune cose possono accadere in parallelo.

In economia imparerai il concetto di percorso critico. Questo è l'insieme di azioni che devono essere eseguite in sequenza (e in matematica si chiama catena, ne parleremo tra poco) e che richiedono più tempo. La riduzione dei tempi di costruzione è una riorganizzazione del percorso critico. Ma ne parleremo in altre lezioni (ti ricordo che sto leggendo una "lezione universitaria"). Ci concentriamo sulla matematica.

I diagrammi come la figura 3 sono chiamati diagrammi di Hasse (Helmut Hasse, matematico tedesco, 1898–1979). Ogni sforzo complesso deve essere pianificato in questo modo. Vediamo sequenze di azioni: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. I matematici le chiamano stringhe. L'intera idea consiste di quattro catene. Al contrario, i gruppi di attività 1-2-3-4, 5-6-7 e 8-9 sono anticatena. Ecco come si chiamano. Il fatto è che in un particolare gruppo nessuna delle azioni dipende dal precedente.

4. Anche questo è un diagramma di Hasse.

andiamo figura 4. Cosa c'è di impressionante? Ma potrebbe essere una mappa della metropolitana in qualche città! Le ferrovie sotterranee sono sempre raggruppate in linee: non passano dall'una all'altra. Le linee sono linee separate. Nella città di Fig. 4 è forno riga (ricorda che forno è scritto "boldem" - in polacco si chiama semi-spesso).

In questo diagramma (Fig. 4) c'è un ABF giallo corto, un ACFPS a sei stazioni, un ADGL verde, un DGMRT blu e quello rosso più lungo. Il matematico dirà: questo diagramma di Hasse ha forno Catene. È sulla linea rossa sette stazione: AEINRUW. E le anticane? Ci sono loro sette. Il lettore ha già notato che ho sottolineato due volte la parola sette.

Anticatena questo è un tale insieme di stazioni che è impossibile passare da una di esse all'altra senza un trasferimento. Quando "capiamo" un po', vedremo i seguenti antichain: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Si prega di verificare, ad esempio, che non è possibile viaggiare da nessuna delle stazioni BCLTV a un'altra BCTLV senza un trasferimento, più precisamente: senza dover tornare alla stazione mostrata di seguito. Quante antichain ci sono? sette. Che taglia è la più grande? Cottura al forno (di nuovo in grassetto).

Potete immaginare, studenti, che la coincidenza di questi numeri non sia casuale. Questo. Questo è stato scoperto e dimostrato (cioè sempre così) nel 1950 da Robert Palmer Dilworth (1914–1993, matematico americano). Il numero di righe necessarie per coprire l'intero set è uguale alla dimensione dell'anticatena più grande e viceversa: il numero di anticatena è uguale alla lunghezza dell'anticatena più lunga. Questo è sempre il caso in un insieme parzialmente ordinato, ad es. uno che può essere visualizzato. Diagramma di Hassego. Questa non è una definizione rigorosa e corretta. Questo è ciò che i matematici chiamano una "definizione di lavoro". Questo è in qualche modo diverso dalla "definizione di lavoro". Questo è un suggerimento su come comprendere gli insiemi parzialmente ordinati. Questa è una parte importante di qualsiasi formazione: guarda come funziona.

L'abbreviazione inglese è: questa parola suona bene nelle lingue slave, un po' come un cardo. Si noti che anche il cardo è ramificato.

Molto bello, ma chi ne ha bisogno? Voi, cari studenti, ne avete bisogno per superare l'esame, e questo probabilmente è un buon motivo per studiarlo. Sto ascoltando, quali domande? Sto ascoltando, signore da sotto la finestra. Oh, la domanda è: questo sarà mai utile al Signore nella tua vita? Forse no, ma per qualcuno più intelligente di te, di sicuro... Forse per l'analisi del percorso critico in un progetto economico complesso?

Sto scrivendo questo testo a metà giugno, sono in corso le elezioni del rettore dell'Università di Varsavia. Ho letto diversi commenti degli utenti di Internet. C'è una quantità sorprendente di odio (o “odio”) nei confronti delle “persone istruite”. Qualcuno ha scritto senza giri di parole che le persone con una formazione universitaria ne sanno meno di quelle con una formazione universitaria. Ovviamente non entro nella discussione. Sono solo triste che stia tornando l'opinione consolidata nella Repubblica popolare polacca che tutto può essere fatto con un martello e uno scalpello. Torno alla matematica.

Il teorema di Dillworth ha diverse applicazioni interessanti. Uno di questi è noto come il teorema del matrimonio.Fico. 6). 

C'è un gruppo di donne (piuttosto ragazze) e un gruppo leggermente più grande di uomini. Ogni ragazza pensa qualcosa del genere: "Potrei sposare questo, per un altro, ma mai nella mia vita per un terzo". E così via, ognuno ha le proprie preferenze. Disegniamo un diagramma, portando a ciascuno di loro una freccia dal ragazzo che non rifiuta come candidato all'altare. D: Le coppie possono essere abbinate in modo che ciascuna trovi un marito che accetta?

Il teorema di Philip Hall, dice che questo può essere fatto - a determinate condizioni, di cui non parlerò qui (quindi alla prossima lezione, studenti, per favore). Si noti, tuttavia, che la soddisfazione maschile non è affatto menzionata qui. Come sai, sono le donne a scegliere noi, e non viceversa, come ci sembra (ti ricordo che sono un'autrice, non un'autrice).

Un po' di matematica seria. In che modo il teorema di Hall segue da Dilworth? È molto semplice. Diamo un'altra occhiata alla figura 6. Le catene sono molto corte: hanno una lunghezza di 2 (correndo nella direzione). Un insieme di omini è un anticatena (proprio perché le frecce sono solo verso). Quindi, puoi coprire l'intera collezione con tanti anti-catene quanti sono gli uomini. Quindi ogni donna avrà una freccia. E questo significa che può sembrare il ragazzo che accetta!!!

Aspetta, qualcuno chiede, è tutto? È tutto app? Gli ormoni in qualche modo andranno d'accordo e perché la matematica? In primo luogo, questa non è l'intera applicazione, ma solo una di una grande serie. Diamo un'occhiata a uno di loro. Lascia che (Fig. 6) non intenda rappresentanti del sesso migliore, ma piuttosto acquirenti prosaici, e questi sono marchi, ad esempio automobili, lavatrici, prodotti dimagranti, offerte di agenzie di viaggio, ecc. Ogni acquirente ha marchi che accetta e rifiuta. Si può fare qualcosa per vendere qualcosa a tutti e come? È qui che finiscono non solo le battute, ma anche la conoscenza dell'autore dell'articolo su questo argomento. Tutto quello che so è che l'analisi si basa su una matematica abbastanza complessa.

Insegnare matematica a scuola è insegnare algoritmi. Questa è una parte importante dell'apprendimento. Ma lentamente ci stiamo muovendo verso l'insegnamento non tanto della matematica quanto del metodo matematico. La lezione di oggi parlava proprio di questo: parliamo di costruzioni mentali astratte, pensiamo alla vita di tutti i giorni. Stiamo parlando di catene e anticatene in insiemi con relazioni inverse, transitive e di altro tipo che utilizziamo nei modelli venditore-acquirente. Il computer farà tutti i calcoli per noi. Non creerà ancora modelli matematici. Si vince ancora con il pensiero. Comunque, speriamo il più a lungo possibile!