Perché non dividiamo per zero?
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I lettori potrebbero chiedersi perché dedico un intero articolo a una questione così banale? Il motivo è lo sbalorditivo numero di studenti (!) che eseguono casualmente l'operazione sotto il nome. E non solo studenti. A volte prendo e insegnanti. Cosa saranno in grado di fare in matematica gli studenti di tali insegnanti? Il motivo immediato per scrivere questo testo è stata una conversazione con un insegnante per il quale la divisione per zero non era un problema...
Con zero, sì, a parte la seccatura del nulla, perché non abbiamo davvero bisogno di usarlo nella vita di tutti i giorni. Non facciamo la spesa per zero uova. "C'è una persona nella stanza" suona in qualche modo naturale e "zero persone" suona artificiale. I linguisti dicono che lo zero è al di fuori del sistema linguistico.
Possiamo fare a meno dello zero anche nei conti bancari: basta usare - come su un termometro - il rosso e il blu per i valori positivi e negativi (si noti che per la temperatura è naturale usare il rosso per i numeri positivi, e per i conti bancari è è il contrario, perché l'addebito dovrebbe attivare un avviso, quindi il rosso è altamente raccomandato).
Includendo lo zero come numero naturale, tocchiamo il problema della differenziazione numeri cardinali od domestico. Entro 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
la potenza del numero è la stessa del numero del luogo in cui si trova. Altrimenti è già nella sequenza 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
Il numero di insiemi singleton viene per secondo, il numero di insiemi con due elementi viene per terzo e così via. Dobbiamo spiegare perché, ad esempio, non contiamo da zero i posti degli atleti nelle competizioni. Quindi il vincitore del primo posto avrebbe ricevuto una medaglia d'argento (l'oro è andato al vincitore del posto zero), e così via. Una procedura in qualche modo simile è stata utilizzata nel calcio - non so se i lettori sanno che "lega uno" significa " seguendo i migliori". “, e la lega zero è chiamata a diventare la “major league”.
A volte sentiamo l'argomento che dobbiamo ricominciare da zero, perché è conveniente per le persone IT. Continuando queste considerazioni, la definizione di chilometro dovrebbe essere cambiata - dovrebbe essere 1024 m, perché questo è il numero di byte in un kilobyte (farò riferimento a un aneddoto noto agli informatici: "Qual è la differenza tra una matricola e uno studente di informatica e uno studente del quinto anno di questa facoltà? che un kilobyte è 1000 kilobyte, l'ultimo - che un chilometro è 1024 metri")!
Un altro punto di vista, che dovrebbe già essere preso sul serio, è questo: misuriamo sempre da zero! Basta guardare qualsiasi scala sul righello, sulla bilancia domestica, anche sull'orologio. Poiché misuriamo da zero e il conteggio può essere inteso come una misura con un'unità adimensionale, allora dovremmo contare da zero.
È una cosa semplice, ma...
Lasciamo il ragionamento generale e torniamo alla divisione per zero. La questione è semplice e sarebbe semplice se non fosse per... e allora? Pensiamo e proviamo. Quanto può essere - uno diviso zero? Vediamo: 1/0 = x. Moltiplica entrambi i membri per il denominatore del lato sinistro.
Otteniamo 1=0. Qualcosa è sbagliato! Quello che è successo? Ah indovina! L'assunto che ci sia un quoziente di unità e zero porta a una contraddizione. E se uno non può essere diviso per zero, allora può farlo un altro numero. Se, lettore, alzi le spalle e ti chiedi perché l'autore (cioè io) scriva di tali luoghi comuni, allora ... sono molto contento!
La formula 0/0 = 0 potrebbe essere difesa ostinatamente, ma contraddice la regola che il risultato della divisione di un numero per se stesso è uguale a uno. Assolutamente, ma abbastanza diversi sono simboli come 0/0, °/° e simili nel calcolo. Non significano alcun numero, ma sono designazioni simboliche per particolari sequenze di determinati tipi.
In un libro di ingegneria elettrica ho trovato un confronto interessante: dividere per zero è pericoloso quanto l'elettricità ad alta tensione. Questo è normale: la legge di Ohm afferma che il rapporto tra tensione e resistenza è uguale alla corrente: V = U / R. Se la resistenza fosse zero, una corrente teoricamente infinita scorrerebbe attraverso il conduttore, bruciando tutti i possibili conduttori.
Una volta ho scritto una poesia sui pericoli della divisione per zero per ogni giorno della settimana. Ricordo che il giorno più drammatico è stato giovedì, ma è un peccato per tutto il mio lavoro in questo campo.
Quando dividi qualcosa per zero
Lunedì molto presto
Settimana quello che è appena successo
Hai già fallito miseramente.
Quando martedì pomeriggio
Metti zero al denominatore
Te lo dico allora, ti sbagli
Pessimo matematico!
Quando attraverso lo zero, attraverso la perversione,
Voglio dividere mercoledì
Avrai molti guai
Hai fieno e acqua in testa!
Un certo Bartek era con noi.
Era in contrasto con le regole.
Giovedì è divisibile per zero.
Non è più tra noi!
Se uno strano desiderio si impossessa di te
Dividi per zero venerdì
Sarò onesto, sarò onesto:
Brutto inizio di questo fine settimana.
Quando è zero, da qualche parte sabato
Il divisore sarà tuo (non in grassetto)
Inginocchiati sotto il recinto della chiesa.
Questa è la tua resurrezione.
Vuoi zero sotto il trattino,
Fai una vacanza la domenica
Porta gesso, lavagna nera.
Scrivi: non è divisibile per zero!
Lo zero è associato al vuoto e al nulla. In effetti, è arrivato alla matematica come una quantità che, sommata a nessuna, non la cambia: x + 0 = x. Ma ora lo zero appare in molti altri valori, in particolare come inizio scala. Se fuori dalla finestra non c'è né temperatura positiva né gelo, allora ... questo è zero, il che non significa che non ci sia affatto temperatura. Un monumento di classe zero non è uno che è stato demolito per molto tempo e semplicemente non esiste. Al contrario, è qualcosa come il Wawel, la Torre Eiffel e la Statua della Libertà.
Ebbene, l'importanza dello zero in un sistema posizionale difficilmente può essere sopravvalutata. Sai, lettore, quanti zeri ha Bill Gates nel suo conto in banca? Non lo so, ma ne vorrei la metà. A quanto pare, Napoleone Bonaparte ha notato che le persone sono come zeri: acquisiscono significato attraverso la posizione. Nel film di Andrzej Wajda As the Years, As the Days Go by, l'appassionato artista Jerzy esplode: "Il filisteo è zero, nihil, niente, niente, nihil, zero". Ma zero può andare bene: “zero deviazioni dalla norma” significa che tutto sta andando bene, e continua così!
Torniamo alla matematica. Zero può essere aggiunto, sottratto e moltiplicato impunemente. "Ho guadagnato zero chilogrammi", dice Manya ad Anya. "E questo è interessante, perché ho perso lo stesso peso", risponde Anya. Quindi mangiamo sei porzioni zero di gelato sei volte, non ci farà male.
Non possiamo dividere per zero, ma possiamo dividere per zero. Un piatto di gnocchi zero può essere facilmente distribuito a chi è in attesa di cibo. Quanto riceverà ciascuno?
Zero non è positivo o negativo. Questo e il numero non positivoи non negativo. Soddisfa le disuguaglianze x≥0 e x≤0. La contraddizione "qualcosa di positivo" non è "qualcosa di negativo", ma "qualcosa di negativo o uguale a zero". I matematici, contrariamente alle regole del linguaggio, diranno sempre che qualcosa è "uguale a zero" e non "zero". Per giustificare questa pratica, abbiamo: se leggiamo la formula x = 0 "x è uguale a zero" allora x = 1 leggiamo "x è uguale a uno", che potrebbe essere ingoiato, ma che dire di "x = 1534267" ? Inoltre, non è possibile assegnare un valore numerico al carattere 00né elevare zero a potenza negativa. D'altra parte, puoi eseguire il root di zero a piacimento... e il risultato sarà sempre zero.
Funzione esponenziale y = ax, la base positiva di a, non diventa mai zero. Ne consegue che non esiste un logaritmo zero. Infatti, il logaritmo di a alla base b è l'esponente a cui si deve elevare la base per ottenere il logaritmo di a. Per a = 0, non esiste un tale indicatore e zero non può essere la base del logaritmo. Tuttavia, lo zero nel "denominatore" del simbolo di Newton è qualcos'altro. Assumiamo che queste convenzioni non portino a una contraddizione.
false prove
La divisione per zero è un argomento comune per le false dimostrazioni e capita anche a matematici esperti. Lascia che ti dia due dei miei esempi preferiti. La prima è algebrica. Dimostrerò che tutti i numeri sono uguali. Supponiamo che ci siano due numeri che non sono uguali. Pertanto, uno di essi è maggiore dell'altro, sia a > b. Assumiamo che c sia la loro differenza
c \uXNUMXd a - b. Quindi abbiamo a - b = c, da cui a = b + c.
Moltiplichiamo entrambe le parti di quest'ultimo per a - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Traduco ak sul lato sinistro, ovviamente mi ricordo di aver cambiato il segno:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Escludo fattori comuni:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Condivido e ho quello che volevo:
a = b.
E in realtà ancora più strano, perché ho assunto che a > b, e ho ottenuto che a = b. Se nell'esempio sopra "barare" è facile da riconoscere, allora nella dimostrazione geometrica sotto non è così facile. Dimostrerò che... il trapezio non esiste. La figura comunemente chiamata trapezio non esiste.
Ma supponiamo prima che esista qualcosa come un trapezio (ABCD nella figura sotto). Ha due lati paralleli ("basi"). Allunghiamo queste basi, come mostrato nell'immagine, in modo da ottenere un parallelogramma. Le sue diagonali dividono l'altra diagonale del trapezio in segmenti le cui lunghezze sono indicate con x, y, z, come in figura 1. Dalla somiglianza dei corrispondenti triangoli si ottengono le proporzioni:
dove definiamo:
Oraz
dove definiamo:
Sottrarre i lati di uguaglianza contrassegnati da asterischi:
Accorciando entrambi i lati di x − z, otteniamo – a/b = 1, il che significa che a + b = 0. Ma i numeri a, b sono le lunghezze delle basi del trapezio. Se la loro somma è zero, anche loro sono zero. Ciò significa che una figura come un trapezio non può esistere! E poiché anche rettangoli, rombi e quadrati sono trapezi, allora, caro Lettore, non ci sono nemmeno rombi, rettangoli e quadrati ...
Indovina Indovina
La condivisione delle informazioni è la più interessante e stimolante delle quattro attività di base. Qui, per la prima volta, incontriamo un fenomeno così comune nell'età adulta: "indovina la risposta, e poi controlla se hai indovinato". Ciò è espresso in modo molto appropriato da Daniel K. Dennett ("Come fare errori?", in How It Is - A Scientific Guide to the Universe, CiS, Varsavia, 1997):
Questo metodo di "indovinare" non interferisce con la nostra vita adulta, forse perché lo impariamo presto e indovinare non è difficile. Ideologicamente, lo stesso fenomeno si verifica, ad esempio, nell'induzione matematica (completa). Nello stesso punto, "indoviamo" la formula e quindi controlliamo se la nostra ipotesi è corretta. Gli studenti chiedono sempre: “Come abbiamo fatto a conoscere lo schema? Come si può togliere?" Quando gli studenti mi fanno questa domanda, trasformo la loro domanda in uno scherzo: "Lo so perché sono un professionista, perché sono pagato per sapere". Agli studenti a scuola si può rispondere con lo stesso stile, solo più seriamente.
Упражнение. Nota che iniziamo l'addizione e la moltiplicazione scritta con l'unità più bassa e la divisione con l'unità più alta.
Una combinazione di due idee
Gli insegnanti di matematica hanno sempre sottolineato che ciò che chiamiamo separazione adulta è l'unione di due idee concettualmente diverse: alloggiamento i separazione.
Il primo (alloggiamento) si verifica nei compiti in cui l'archetipo è:
Dividi-dividi Questi sono compiti come:
? (Conserviamo lo stile originale di questo problema, tratto dal manuale di Julian Zgozalewicz pubblicato a Cracovia nel 1892 - lo złoty è lo złoty renano, la moneta che era in circolazione nell'impero austro-ungarico fino all'inizio del XIX secolo).
Consideriamo ora due problemi con il più antico libro di matematica in polacco, padre Tomasz Clos (1538). È una divisione o una coupé? Risolvilo nel modo in cui gli scolari del XIX secolo dovrebbero:
(Traduzione dal polacco al polacco: c'è un litro e quattro vasi in un barile. Un vaso è di quattro quarti. Qualcuno ha comprato 20 barili di vino per 50 zł per il commercio. I dazi e le tasse (accise?) Saranno 8 zł. vendere un litro per guadagnare 8 zł?)
Sport, fisica, congruenza
A volte nello sport devi dividere qualcosa per zero (rapporto gol). Bene, i giudici in qualche modo se ne occupano. Tuttavia, in algebra astratta sono all'ordine del giorno. quantità diverse da zeroil cui quadrato è zero. Può anche essere spiegato semplicemente.
Si consideri una funzione F che associa un punto (y, 0) a un punto del piano (x, y). Cos'è F2, cioè una doppia esecuzione di F? Funzione zero: ogni punto ha un'immagine (0,0).
Infine, quantità diverse da zero il cui quadrato è 0 sono pane quasi quotidiano per i fisici, e numeri della forma a + bε, dove ε ≠ 0, ma ε2 = 0, chiamano i matematici numeri doppi. Si verificano nell'analisi matematica e nella geometria differenziale.
Dopotutto, c'è qualcosa nell'aritmetica che ha una divisione per zero almeno nel nome. Viene da congruenza. Sia Z l'insieme degli interi. Dividere l'insieme Z per p significa equiparare ogni numero (intero) ad altri, cioè a quelli per i quali la loro differenza è divisibile. Quindi, quando abbiamo cinque tipi di numeri corrispondenti ai numeri 0, 1, 2, 3, 4 - i possibili resti divisi per 5. La formula è scritta così:
mod quando la differenza è un multiplo.
Per = 2, abbiamo solo due numeri: 0 e 1. Dividere gli interi in due di queste classi equivale a dividerli in pari e dispari. Sostituiamolo ora. La differenza è sempre divisibile per 1 (ogni intero è divisibile per 1). È possibile prendere =0? Proviamo: quando la differenza di due numeri è un multiplo di zero? Solo quando questi due numeri sono uguali. Quindi dividere un insieme di interi per zero ha senso, ma non è interessante: non succede nulla. Tuttavia, va sottolineato che non si tratta di divisione dei numeri nel senso conosciuto dalla scuola elementare.
Tali azioni sono semplicemente proibite, così come la matematica lunga e ampia.
Riso. 2. Identificazione dei numeri mediante confronto
(modalità 5 e modalità 2)
