Viaggio nel mondo irreale della matematica

Ho scritto questo articolo in uno degli ambienti, dopo una lezione e una pratica in un college di informatica. Mi difendo dalle critiche agli studenti di questa scuola, alle loro conoscenze, attitudine alla scienza e, soprattutto: alle capacità di insegnamento. Questo... nessuno glielo insegna.

Perché sono così sulla difensiva? Per un semplice motivo: ho un'età in cui, probabilmente, il mondo che ci circonda non è ancora compreso. Forse sto insegnando loro a imbrigliare e slegare i cavalli e non a guidare una macchina? Forse insegno loro a scrivere con una penna d'oca? Anche se ho un'opinione migliore di una persona, mi considero "seguente", ma...

Fino a poco tempo fa, al liceo, si parlava di numeri complessi. Ed è stato questo mercoledì che sono tornato a casa, ho smesso: quasi nessuno degli studenti ha ancora imparato cos'è e come usare questi numeri. Alcuni guardano tutta la matematica come un'oca davanti a una porta dipinta. Ma sono stato anche sinceramente sorpreso quando mi hanno detto come imparare. In poche parole, ogni ora di una lezione è di due ore di compiti a casa: leggere un libro di testo, imparare a risolvere problemi su un determinato argomento, ecc. Dopo esserci preparati in questo modo, arriviamo agli esercizi, dove miglioriamo tutto ... Piacevolmente, a quanto pare, gli studenti pensavano che sedersi a lezione - il più delle volte guardando fuori dalla finestra - garantisse già l'ingresso della conoscenza nella testa.

Fermare! Basta con questo. Descriverò la mia risposta a una domanda che ho ricevuto durante una lezione con i borsisti del National Children's Fund, un'istituzione che sostiene bambini di talento provenienti da tutto il paese. La domanda (o meglio il suggerimento) era:

— Potresti dirci qualcosa sui numeri irreali?

"Certo", ho risposto. 

La realtà dei numeri

"Un amico è un altro me, l'amicizia è il rapporto tra i numeri 220 e 284", disse Pitagora. Il punto qui è che la somma dei divisori del numero 220 è 284 e la somma dei divisori del numero 284 è 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. A proposito, notiamo che il biblico Giacobbe diede a Esaù 220 pecore e montoni in segno di amicizia (Genesi 32:14 ).

Un'altra interessante coincidenza tra i numeri 220 e 284 è questa: i diciassette numeri primi più alti sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, e 59.

La loro somma è 2x220 e la somma dei quadrati è 59x284.

Primo. Non esiste il concetto di "numero reale". È come dopo aver letto un articolo sugli elefanti, chiedi: "Ora chiederemo dei non-elefanti". Ci sono interi e non interi, razionali e irrazionali, ma non ci sono irreali. Nello specifico: i numeri che non sono reali non sono chiamati non validi. Esistono molti tipi di "numeri" in matematica e differiscono l'uno dall'altro, come - per fare un confronto zoologico - un elefante e un lombrico.

In secondo luogo, eseguiremo operazioni che potresti già sapere essere vietate: estrarre le radici quadrate di numeri negativi. Bene, la matematica supererà tali barriere. Ha senso però? In matematica, come in ogni altra scienza, il fatto che una teoria entri per sempre nel deposito della conoscenza dipende... dalla sua applicazione. Se è inutile, finisce nella spazzatura, quindi in qualche spazzatura della storia della conoscenza. Senza i numeri di cui parlo alla fine di questo articolo, è impossibile sviluppare la matematica. Ma iniziamo con alcune piccole cose. Quali sono i numeri reali, lo sai. Riempiono la linea dei numeri densamente e senza spazi vuoti. Sai anche quali sono i numeri naturali: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - tutti non entreranno memoria anche la più grande. Hanno anche un bellissimo nome: naturale. Hanno così tante proprietà interessanti. Come ti piace questo:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

"È naturale essere interessati ai numeri naturali", ha detto Karl Lindenholm, e Leopold Kronecker (1823–1891) lo ha detto succintamente: "Dio ha creato i numeri naturali, tutto il resto è opera dell'uomo!" Anche le frazioni (chiamate numeri razionali dai matematici) hanno proprietà sorprendenti:

e in uguaglianza:

puoi, partendo dal lato sinistro, strofinare i vantaggi e sostituirli con segni di moltiplicazione - e l'uguaglianza rimarrà vera:

E così via.

Come sai, per le frazioni a/b, dove a e b sono interi, e b ≠ 0, si dice numero razionale. Ma solo in polacco si chiamano così. Parlano inglese, francese, tedesco e russo. numero razionale. In inglese: numeri razionali. Numeri irrazionali è irrazionale, irrazionale. Parliamo anche in polacco di teorie, idee e azioni irrazionali: questa è follia, immaginaria, inspiegabile. Dicono che le donne hanno paura dei topi - non è così irrazionale?

Nell'antichità i numeri avevano un'anima. Ognuno significava qualcosa, ognuno simboleggiava qualcosa, ognuno rifletteva una particella di quell'armonia dell'Universo, che è, in greco, il Cosmo. La stessa parola "cosmo" significa esattamente "ordine, ordine". I più importanti erano il sei (il numero perfetto) e il dieci, somma dei numeri consecutivi 1+2+3+4, composta da altri numeri, il cui simbolismo è sopravvissuto fino ad oggi. Così Pitagora insegnò che i numeri sono l'inizio e la fonte di tutto, e solo la scoperta numeri irrazionali rivolse il movimento pitagorico verso la geometria. Conosciamo il ragionamento della scuola che

√2 è un numero irrazionale

Supponiamo infatti che ci sia: e che questa frazione non possa essere ridotta. In particolare, sia p che q sono dispari. Facciamo quadrato: 2q²=p². Il numero p non può essere dispari, poiché allora p² sarebbe anche, e il lato sinistro dell'uguaglianza è un multiplo di 2. Quindi, p è pari, cioè p = 2r, quindi p²= 4r². Riduciamo l'equazione 2q²= 4r² per 2. Otteniamo q²= 2r² e vediamo che anche q deve essere pari, cosa che supponiamo non sia così. La contraddizione risultante completa la dimostrazione - questa formula si trova spesso in ogni libro di matematica. Questa prova circostanziale è uno dei trucchi preferiti dai sofisti.

Questa immensità non poteva essere compresa dai Pitagorici. Tutto deve poter essere descritto da numeri, e la diagonale di un quadrato, che chiunque può disegnare con un bastone sulla sabbia, non ha, cioè misurabile, lunghezza. "La nostra fede è stata vana", sembrano dire i Pitagorici. Come mai? È un po'... irrazionale. L'Unione ha cercato di salvarsi con metodi settari. Chiunque osi rivelare la propria esistenza numeri irrazionali, doveva essere punito con la morte e, a quanto pare, la prima sentenza fu eseguita dallo stesso maestro.

Ma "il pensiero è passato illeso". L'età dell'oro è arrivata. I Greci sconfissero i Persiani (Maratona 490, Blocco 479). Si rafforzò la democrazia, sorsero nuovi centri di pensiero filosofico e nuove scuole. I pitagorici erano ancora alle prese con numeri irrazionali. Alcuni predicavano: non comprenderemo questo mistero; possiamo solo contemplare e meravigliarci di Uncharted. Questi ultimi erano più pragmatici e non rispettavano il Mistero. In quel momento apparvero due costruzioni mentali che consentivano di comprendere i numeri irrazionali. Il fatto che oggi li comprendiamo abbastanza bene appartiene a Eudosso (V secolo a.C.), e fu solo alla fine del XIX secolo che il matematico tedesco Richard Dedekind diede alla teoria di Eudosso il giusto sviluppo secondo i requisiti di un rigoroso logica matematica.

Massa di cifre o tortura

Potresti vivere senza numeri? Anche se quale sarebbe la vita... Dovremmo andare al negozio per comprare le scarpe con un bastoncino, di cui abbiamo precedentemente misurato la lunghezza del piede. "Vorrei le mele, ah, eccola!" – mostreremmo i venditori nel mercato. "Quanto dista Modlin da Nowy Dwur Mazowiecki"? "Molto vicino!"

I numeri sono usati per misurare. Con il loro aiuto, esprimiamo anche molti altri concetti. Ad esempio, la scala della mappa mostra quanto è diminuita l'area del paese. Una scala da due a uno, o semplicemente 2, esprime il fatto che qualcosa è stato raddoppiato di dimensioni. Diciamo matematicamente: ogni omogeneità corrisponde a un numero - la sua scala.

compito. Abbiamo fatto una copia xerografica, ingrandendo l'immagine più volte. Quindi il frammento ingrandito è stato nuovamente ingrandito b volte. Qual è la scala di ingrandimento generale? Risposta: a × b moltiplicato per b. Queste scale devono essere moltiplicate. Il numero "meno uno", -1, corrisponde a una precisione centrata, ovvero ruotata di 180 gradi. Quale numero corrisponde a una svolta di 90 gradi? Non esiste un tale numero. Lo è, lo è... o meglio, lo sarà presto. Sei pronto per la tortura morale? Coraggio e prendi la radice quadrata di meno uno. Sto ascoltando? Cosa non puoi? Dopotutto, ti ho detto di essere coraggioso. Tiralo fuori! Ehi, bene, tira, tira... ti aiuto... Ecco: -1 Ora che ce l'abbiamo, proviamo ad usarlo... Certo, ora possiamo estrarre le radici di tutti i numeri negativi, perché esempio.:

√-4 = 2√-1, √ all'16 ottobre = 4√-1

"Indipendentemente dall'angoscia mentale che comporta." Così scriveva Girolamo Cardano nel 1539, cercando di superare le difficoltà mentali legate - come presto venne chiamato - quantità immaginarie. Considerava questi...

...compito. Dividi 10 in due parti, il cui prodotto è 40. Ricordo che dalla puntata precedente scrisse qualcosa del genere: Certamente impossibile. Tuttavia, facciamo questo: dividi 10 in due parti uguali, ciascuna uguale a 5. Moltiplicali: risulta 25. Dal 25 risultante, ora sottrai 40, se vuoi, e ottieni -15. Ora guarda: √-15 aggiunto e sottratto da 5 ti dà il prodotto di 40. Questi sono i numeri 5-√-15 e 5 + √-15. La verifica del risultato è stata effettuata da Cardano come segue:

“Indipendentemente dall'angoscia che comporta, moltiplica 5 + √-15 per 5-√-15. Otteniamo 25 - (-15), che è uguale a 25 + 15. Quindi, il prodotto è 40 .... È davvero difficile".

Bene, quanto fa: (1 + √-1) (1-√-1)? Moltiplichiamo. Ricorda che √-1 × √-1 = -1. Grande. Ora un compito più difficile: da a + b√-1 ad ab√-1. Cosa è successo? Certamente, così: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Cosa c'è di interessante in questo? Ad esempio, il fatto che possiamo fattorizzare espressioni che "non conoscevamo prima". La formula abbreviata di moltiplicazione per²-b² Ricordi la formula per²+b² non lo era, perché non poteva essere. Nel dominio dei numeri reali, il polinomio²+b² è inevitabile. Indichiamo la "nostra" radice quadrata di "meno uno" con la lettera i.²= -1. È un numero primo "irreale". Ed è ciò che descrive una virata di 90 gradi di un aeroplano. Come mai? Dopotutto,²= -1, e combinando una rotazione di 90 gradi e un'altra rotazione di 180 gradi si ottiene una rotazione di 45 gradi. Che tipo di rotazione viene descritta? Ovviamente una svolta di XNUMX gradi. Cosa significa -i? E' un po' più complicato:

(-IO)² = -io × (-i) = + io² = -1

Quindi -i descrive anche una rotazione di 90 gradi, proprio nella direzione opposta alla rotazione di i. Quale è di sinistra e quale di destra? Devi prendere un appuntamento. Assumiamo che il numero i specifichi una rotazione nella direzione che i matematici considerano positiva: in senso antiorario. Il numero -i descrive la rotazione nella direzione in cui si muovono i puntatori.

Ma esistono numeri come i e -i? Sono! Li abbiamo appena portati in vita. Sto ascoltando? Che esistono solo nella nostra testa? Ebbene cosa aspettarsi? Tutti gli altri numeri esistono anche solo nella nostra mente. Dobbiamo vedere se il nostro numero di neonati sopravvive. Più precisamente, se il design è logico e se saranno utili per qualcosa. Per favore, credetemi sulla parola che tutto è in ordine e che questi nuovi numeri sono davvero utili. Numeri come 3+i, 5-7i, più in generale: a+bi sono detti numeri complessi. Ti ho mostrato come ottenerli facendo girare l'aereo. Possono essere inseriti in diversi modi: come punti di un piano, come alcuni polinomi, come una specie di array numerici... e ogni volta sono gli stessi: l'equazione x² +1=0 non c'è nessun elemento... hocus pocus c'è già!!!! Gioiamo e rallegriamoci!!!

Fine del tour

Si conclude così il nostro primo giro nel paese dei numeri falsi. Degli altri numeri ultraterreni, menzionerò anche quelli che hanno un numero infinito di cifre davanti e non dietro (si chiamano 10-adici, per noi p-adici sono più importanti, dove p è un numero primo), poiché esempio X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Contiamo X per favore². Come? E se calcoliamo il quadrato di un numero seguito da un numero infinito di cifre? Bene, facciamo lo stesso. Sappiamo che x² = H.

Troviamo un altro numero simile con un numero infinito di cifre davanti che soddisfi l'equazione. Suggerimento: il quadrato di un numero che termina con sei termina anche con sei. Anche il quadrato di un numero che termina con 76 termina con 76. Anche il quadrato di un numero che termina con 376 termina con 376. Il quadrato di un numero che termina con 9376 termina anche con 9376. Il quadrato di un numero che termina con XNUMX il... Ci sono anche numeri così piccoli che, essendo positivi, rimangono più piccoli di qualsiasi altro numero positivo. Sono così piccoli che a volte basta quadrarli per ottenere zero. Ci sono numeri che non soddisfano la condizione a × b = b × a. Ci sono anche infiniti numeri. Quanti numeri naturali ci sono? Infinitamente tanti? Sì, ma quanto? Come si può esprimere questo come un numero? Risposta: il più piccolo di infiniti numeri; è contrassegnato da una bella lettera: A e integrato con un indice zero A₀ , aleph-zero.

Ci sono anche numeri che non sappiamo esistano... o che puoi credere o non credere a tuo piacimento. E parlando di cose simili: spero che ti piacciano ancora I numeri irreali, i numeri delle specie fantasy.