Articolo sul nulla

Da bambino ero affascinato dalla storia, probabilmente nota a molti lettori, della "zuppa sull'unghia". Mia nonna (XNUMX° secolo di nascita) me lo ha detto nella versione "Il cosacco è venuto e ha chiesto dell'acqua, perché ha un chiodo e ci cucinerà sopra la zuppa". La curiosa padrona di casa gli ha dato una pentola d'acqua… e sappiamo cosa è successo dopo: “la zuppa dovrebbe essere salata, daitye, nonna, sale”, poi ha lavato la carne “per migliorare il gusto” e così via. Alla fine ha buttato via l'unghia "bollita".

Quindi questo articolo avrebbe dovuto riguardare il vuoto dello spazio - e questo riguarda l'atterraggio di un apparato europeo sulla cometa 67P / Churyumov-Gerasimenko il 12 novembre 2014. Ma mentre scrivevo, ho ceduto a un'abitudine di vecchia data, Sono ancora un matematico. Come va con Piaceс Zero matematica?

Come fa niente esiste?

Non si può dire che nulla esiste. Esiste almeno come concetto filosofico, matematico, religioso e completamente colloquiale. Zero è un numero ordinario, zero gradi su un termometro è anche una temperatura e un saldo zero in una banca è un evento spiacevole ma comune. Si noti che nella cronologia non c'è l'anno zero, e questo perché lo zero è stato introdotto in matematica solo nel tardo medioevo, dopo la cronologia proposta dal monaco Dionisio (XNUMX° secolo).

Stranamente, potremmo davvero fare a meno di questo zero e, quindi, dei numeri negativi. In uno dei libri di testo sulla logica ho trovato un esercizio: disegna o dici come immagini l'assenza dei pesci. Incredibile, vero? Chiunque può disegnare un pesce, ma non uno?

Ora brevemente corso di matematica di base. Concedere il privilegio di esistenza all'insieme vuoto contrassegnato da un cerchio barrato ∅ è una procedura necessaria analoga all'aggiunta di zero all'insieme dei numeri. L'insieme vuoto è l'unico che non contiene alcun elemento. Tali raccolte:

Ma non ci sono due diversi set vuoti. Il set vuoto è incluso in ogni altro set:

Infatti, le regole della logica matematica dicono che l'insieme A è contenuto nell'insieme B se e solo se la frase:

esso comporta

Nel caso dell'insieme vuoto ∅, la proposizione è sempre falsa, e quindi, secondo le leggi della logica, l'implicazione è generalmente vera. Tutto nasce da una bugia (“qui coltiverò un cactus se passi alla classe successiva…”). Quindi, poiché l'insieme vuoto è contenuto in ciascuno degli altri, allora se fossero due diversi, ciascuno sarebbe contenuto nell'altro. Tuttavia, se due insiemi sono contenuti l'uno nell'altro, sono uguali. Ecco perché: c'è solo un set vuoto!

Il postulato dell'esistenza di un insieme vuoto non contraddice nessuna legge della matematica, quindi perché non metterlo in pratica? Il principio filosofico chiamatorasoio di Occam» Un ordine per escludere concetti non necessari, ma giusti il concetto di insieme vuoto è molto utile in matematica. Si noti che l'insieme vuoto ha una dimensione di -1 (meno uno) - gli elementi a dimensione zero sono punti e i loro sistemi sparsi, gli elementi unidimensionali sono linee e nel capitolo abbiamo parlato di elementi matematici molto complessi con una dimensione frattale sui frattali.

È interessante notare che l'intero edificio della matematica: numeri, numeri, funzioni, operatori, integrali, differenziali, equazioni ... può essere derivato da un concetto: un insieme vuoto! È sufficiente presumere che ci sia un insieme vuoto, gli elementi appena creati possono essere combinati in insiemi per poterlo fare costruisci tutta la matematica. È così che il logico tedesco Gottlob Frege ha costruito i numeri naturali. Zero è una classe di insiemi i cui elementi sono in corrispondenza reciproca con gli elementi dell'insieme vuoto. Una è una classe di insiemi i cui elementi sono in corrispondenza reciproca con gli elementi di un insieme il cui unico elemento è l'insieme vuoto. Due è una classe di insiemi i cui elementi sono uno a uno con gli elementi dell'insieme costituito dall'insieme vuoto e l'insieme il cui unico elemento è l'insieme vuoto... e così via. A prima vista, questo sembra essere qualcosa di molto complicato, ma in realtà non lo è.

Il blu si è diffuso su di me

odorava di erica e odorava di menta...

Wojciech Mlynarski, La ragazza del raccolto

È difficile da immaginare

Niente è difficile da immaginare. Nella storia di Stanisław Lem "Come è stato salvato il mondo", il designer Trurl ha costruito una macchina che avrebbe fatto tutto a partire da una lettera. Quando Klapaucius ne ordinò la costruzione Nic, la macchina ha iniziato a rimuovere vari oggetti dal mondo, con l'obiettivo finale di rimuovere tutto. Quando lo spaventato Klapaucius fermò la macchina, galee, tassi, impiccagioni, hack, rime, battitori, pouf, smerigliatrici, spiedini, filidroni e gelo erano scomparsi per sempre dal mondo. E in effetti, sono scomparsi per sempre ...

Józef Tischner ha scritto molto bene sul nulla nella sua Storia della filosofia della montagna. Durante la mia ultima vacanza, ho deciso di sperimentare questo nulla, vale a dire, sono andato nelle torbiere tra Nowy Targ e Jabłonka a Podhale. Questa zona è anche chiamata Pustachia. Vai, vai, ma la strada non diminuisce, ovviamente, sulla nostra modesta scala polacca. Un giorno ho preso un autobus nella provincia canadese del Saskatchewan. Fuori c'era un campo di grano. Ho fatto un pisolino per mezz'ora. Quando mi sono svegliato, stavamo attraversando lo stesso campo di grano... Ma aspetta, è vuoto? In un certo senso, l'assenza di cambiamento è solo vuoto.

Siamo abituati alla presenza costante di vari oggetti intorno a noi, e da qualcosa non puoi scappare anche con gli occhi chiusi. "Penso, quindi sono", disse Cartesio. Se ho già pensato qualcosa, allora esisto, il che significa che c'è almeno qualcosa nel mondo (vale a dire, io). Ciò che pensavo esiste? Questo può essere discusso, ma nella moderna meccanica quantistica è noto il principio di Heisenberg: ogni osservazione perturba lo stato dell'oggetto osservato. Fino a quando non lo vediamo Nic non esiste, e quando iniziamo a guardare, l'oggetto cessa di essere Piace e diventa qualcosa. Sta diventando assurdo principio antropico: Non ha senso chiedersi come sarebbe il mondo se non esistessimo. Il mondo è come ci appare. Forse altri esseri vedranno la Terra come angolare?

Un positrone (un tale elettrone positivo) è un buco nello spazio, "non c'è nessun elettrone". Nel processo di annichilazione, l'elettrone salta in questo buco e “non succede niente” – non c'è nessun buco, nessun elettrone. Salterò molte battute sui buchi nel formaggio svizzero ("più ne ho, meno lì ..."). Il famoso compositore John Cage aveva già utilizzato le sue idee a tal punto che ha composto (?) un brano musicale (?) in cui l'orchestra rimane immobile per 4 minuti e 33 secondi e, ovviamente, non suona nulla. "Quattro minuti e trentatré secondi sono duecentosettantatre, 273 e meno 273 gradi è lo zero assoluto, in cui ogni movimento si ferma", ha spiegato il compositore (?).

Filtra a zero, niente, nick, nick, niente, zero!

Jerzy nel film Over the Years di Andrzej Wajda,

I giorni passano"

Che ne dici di tutti?

Molte persone (dai semplici contadini a eminenti filosofi) si sono interrogate sul fenomeno dell'esistenza. In matematica la situazione è semplice: c'è qualcosa che è coerente.

Scomparve nei campi marginali

In fiordalisi, erbacce e bocche di leone...

Beh, cose del genere accadono

Soprattutto nella vendemmia, e durante la vendemmia

particolarmente…

Wojciech Mlynarski, La ragazza del raccolto

Tutto è all'altro estremo del Nulla. In matematica lo sappiamo Tutto non esiste. Solo un'idea fin troppo imprecisa che la sua esistenza sarebbe stata esente da controversie. Questo può essere compreso dall'esempio del vecchio paradosso: "Se Dio è onnipotente, allora crei una pietra da raccogliere?" La dimostrazione matematica che non possono esserci insiemi di tutti gli insiemi si basa sul teorema cantante-Bershtein, che dice che "un numero infinito" (matematico: numero cardinale) l'insieme di tutti i membri di un dato insieme è maggiore del numero di elementi di questo insieme.

Se un insieme ha elementi, allora ha 2ⁿ sottoinsiemi; ad esempio, quando = 3 e l'insieme è composto da {1, 2, 3} allora esistono i seguenti sottoinsiemi:

• tre insiemi di due elementi: a ciascuno di essi manca uno dei numeri 1, 2, 3,
• un set vuoto,
• tre set di un elemento,
• l'insieme {1,2,3}

– solo otto, 2³E ai lettori che si sono diplomati di recente, vorrei ricordare la formula corrispondente:

Ciascuno dei simboli newtoniani in questa formula determina il numero di k insiemi di elementi nell'insieme di elementi.

In matematica, i coefficienti binomiali compaiono in molti altri luoghi, ad esempio in formule interessanti per la moltiplicazione ridotta:

e dalla loro forma esatta, la loro interdipendenza è molto più interessante.

Difficile capire cosa sia - per quanto riguarda la logica e la matematica - e cosa non sia il Tutto. Argomenti per la non esistenza Proprio come quello di Winnie the Pooh, che ha gentilmente chiesto al suo ospite, Tiger, alle tigri piacciono il miele, le ghiande e i cardi? "Alle tigri piace tutto", ha risposto quello da cui Kubus ha concluso che se gli piace tutto, allora gli piace anche dormire per terra, quindi lui, Vinnie, può tornare a letto.

Un altro argomento Il paradosso di Russell. C'è un barbiere in città che rade tutti gli uomini che non si radono da soli. Si rade? Entrambe le risposte contraddicono la condizione avanzata che uccidano coloro, e solo coloro, che non lo fanno da soli.

Alla ricerca di una raccolta di tutte le collezioni

In conclusione, darò una prova intelligente, ma molto matematica, che non esiste un insieme di tutti gli insiemi (da non confondere con esso).

In primo luogo, mostreremo che per qualsiasi insieme X non vuoto, è impossibile trovare una funzione mutuamente unica che mappi questo insieme all'insieme dei suoi sottoinsiemi P(X). Quindi supponiamo che questa funzione esista. Indichiamolo con il tradizionale f. Che cos'è f da x? Questa è una collezione. xf appartiene a x? Questo è sconosciuto. O devi o non lo fai. Ma per alcuni x deve essere ancora tale da non appartenere a f di x. Bene, allora considera l'insieme di tutti x per i quali x non appartiene a f(x). Indichiamolo (questo insieme) con A. Corrisponde a qualche elemento a dell'insieme X. A appartiene ad A? Supponiamo che dovresti. Ma A è un insieme contenente solo quegli elementi di x che non appartengono a f(x) ... Beh, forse non appartiene ad A? Ma l'insieme A contiene tutti gli elementi di questa proprietà, e quindi anche A. Fine della dimostrazione.

Pertanto, se esistesse un insieme di tutti gli insiemi, esso stesso sarebbe un sottoinsieme di se stesso, cosa impossibile secondo il ragionamento precedente.

Uff, non credo che molti lettori abbiano visto questa prova. Piuttosto, l'ho sollevato per mostrare cosa dovevano fare i matematici alla fine del diciannovesimo secolo, quando iniziarono a studiare i fondamenti della propria scienza. Si è scoperto che i problemi si trovano dove nessuno se li aspettava. Inoltre, per tutta la matematica, questi ragionamenti sulle basi non contano: qualunque cosa accada nelle cantine, l'intero edificio della matematica si erge su una solida roccia.

Intanto in alto...

Notiamo un'altra moralità dalle storie di Stanislav Lem. In uno dei suoi viaggi, Iyon Tichi raggiunse un pianeta i cui abitanti, dopo una lunga evoluzione, raggiunsero finalmente il più alto stadio di sviluppo. Sono tutti forti, possono fare qualsiasi cosa, hanno tutto a portata di mano... e non fanno nulla. Si sdraiano sulla sabbia e la versano tra le dita. "Se tutto è possibile, non ne vale la pena", spiegano allo scioccato Ijon. Che questo non accada alla nostra civiltà europea...