ALLORA A CHI, cioè: PROVA DOVE PUOI - parte 2

Nell'episodio precedente ci siamo occupati di Sudoku, un gioco aritmetico in cui i numeri sono sostanzialmente disposti in vari diagrammi secondo determinate regole. La variante più comune è una scacchiera 9×9, ulteriormente divisa in nove celle 3×3. I numeri da 1 a 9 devono essere impostati su di esso in modo che non si ripetano né in una riga verticale (dicono i matematici: in una colonna) né in una riga orizzontale (dicono i matematici: in una riga) - e, inoltre, in modo che non si ripetono. ripetere all'interno di qualsiasi quadrato più piccolo.

Na Fico. 1 vediamo questo puzzle in una versione più semplice, che è un quadrato 6 × 6 diviso in rettangoli 2 × 3. Inseriamo i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6 - in modo che non si ripetano verticalmente, né orizzontalmente, né in ciascuno degli esagoni selezionati.

Proviamo mostrato nella casella in alto. Puoi riempirlo con i numeri da 1 a 6 secondo le regole stabilite per questo gioco? È possibile, ma ambiguo. Vediamo: disegna un quadrato a sinistra o un quadrato a destra.

Possiamo dire che questa non è la base del puzzle. Di solito assumiamo che un puzzle abbia una soluzione. Il compito di trovare basi diverse per il "grande" Sudoku, 9x9, è un compito difficile e non c'è possibilità di risolverlo completamente.

Un altro collegamento importante è il sistema contraddittorio. Il quadrato centrale in basso (quello con il numero 2 nell'angolo in basso a destra) non può essere completato. Perché?

Divertimento e Ritiri

Continuiamo a giocare. Usiamo l'intuizione dei bambini. Credono che l'intrattenimento sia un'introduzione all'apprendimento. Andiamo nello spazio. acceso Fico. 2 tutti vedono la griglia tetraedroda palline, per esempio, palline da ping-pong? Richiama le lezioni di geometria della scuola. I colori sul lato sinistro dell'immagine spiegano a cosa è incollato durante l'assemblaggio del blocco. In particolare, tre palline d'angolo (rosse) verranno incollate in una. Pertanto, devono essere lo stesso numero. Forse 9. Perché? E perchè no?

Oh non l'ho espresso i compiti. Suona più o meno così: è possibile inscrivere i numeri da 0 a 9 nella griglia visibile in modo che ogni faccia contenga tutti i numeri? Il compito non è difficile, ma quanto devi immaginare! Non rovinerò il piacere dei lettori e non darò una soluzione.

Questa è una forma molto bella e sottovalutata. ottaedro regolare, costruita da due piramidi (=piramidi) a base quadrata. Come suggerisce il nome, l'ottaedro ha otto facce.

Ci sono sei vertici in un ottaedro. È contraddittorio cuboche ha sei facce e otto vertici. I bordi di entrambi i grumi sono gli stessi: dodici ciascuno. Questo doppi solidi - questo significa che collegando i centri delle facce del cubo otteniamo un ottaedro, e i centri delle facce dell'ottaedro ci daranno un cubo. Entrambi questi dossi si comportano ("perché devono") Formula di Eulero: La somma del numero di vertici e del numero di facce è 2 in più rispetto al numero di spigoli.

3. Un ottaedro regolare in proiezione parallela e un reticolo di ottaedro composto da sfere in modo tale che ogni bordo abbia quattro sfere.

Lavoro 1. Per prima cosa, scrivi l'ultima frase del paragrafo precedente usando una formula matematica. Sul Fico. 3 vedi una griglia ottaedrica, anch'essa composta da sfere. Ogni bordo ha quattro palline. Ogni faccia è un triangolo di dieci sfere. Il problema è posto in modo indipendente: è possibile inserire nei cerchi della griglia numeri da 0 a 9 in modo che dopo aver incollato un corpo solido, ogni parete contenga tutti i numeri (ne segue senza ripetizioni). Come prima, la più grande difficoltà in questo compito è come la mesh viene trasformata in un corpo solido. Non posso spiegarlo per iscritto, quindi non fornisco nemmeno la soluzione qui.

4. Due icosaedri di palline da ping-pong. Notare la diversa combinazione di colori.

già Platone (e visse nel V-IV secolo aC) conosceva tutti i poliedri regolari: tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro i icosaedro. È incredibile come ci sia arrivato: niente matita, niente carta, niente penna, niente libri, niente smartphone, niente internet! Non parlerò qui del dodecaedro. Ma il sudoku icosaedrico è interessante. Vediamo questo nodulo illustrazione 4e la sua rete figura 5.

5. Maglia regolare dell'icosaedro.

Come prima, questa non è una griglia nel senso in cui ricordiamo (?!) da scuola, ma un modo per incollare triangoli da palline (palline).

Lavoro 2. Quante palline servono per costruire un icosaedro del genere? Vale ancora il seguente ragionamento: poiché ogni faccia è un triangolo, se ci devono essere 20 facce, sono necessarie fino a 60 sfere?

6. Griglia di un icosaedro da sfere. Ogni cerchio è, ad esempio, una pallina da ping-pong, ma la costruzione di cerchi su cerchi contrassegnati con lo stesso colore si fonde in uno solo. Quindi abbiamo dodici sfere (= dodici vertici: rosso, blu, viola, blu e otto gialli).

È facile vedere che tre numeri nell'icosaedro non sono sufficienti. Più precisamente: è impossibile enumerare i vertici con i numeri 1, 2, 3 in modo che ogni faccia (triangolare) abbia questi tre numeri e non ci siano ripetizioni. È possibile con quattro numeri? Sì, è possibile! Guardiamo Riso. 6 e 7.

7. Ecco come numerare le sfere che compongono l'icosaedro in modo che ogni faccia contenga numeri diversi da 1, 2, 3, 4. Quale dei corpi in fig. 4 è colorato così?

Lavoro 3. Tre dei quattro numeri possono essere scelti in quattro modi: 123, 124, 134, 234. Trova cinque di questi triangoli nell'icosaedro in fig. 7 (nonché da illustrazioni uno).

Assegnazione 4 (richiede un'ottima immaginazione spaziale). L'icosaedro ha dodici vertici, il che significa che può essere incollato insieme da dodici sfere (Fico. 7). Nota che ci sono tre vertici (=palline) etichettati con 1, tre con 2 e così via. Quindi, palline dello stesso colore formano un triangolo. Cos'è questo triangolo? Forse equilatero? Guarda di nuovo illustrazioni uno.

Il prossimo compito per il nonno/nonna e il nipote/nipote. Anche i genitori possono finalmente cimentarsi, ma hanno bisogno di pazienza e tempo.

Lavoro 5. Compra dodici (preferibilmente 24) palline da ping-pong, circa quattro colori di vernice, un pennello e la colla giusta - Non consiglio quelle veloci come Superglue o Droplet perché si asciugano troppo velocemente e sono pericolose per i bambini. Incolla l'icosaedro. Vesti tua nipote con una t-shirt che verrà lavata (o buttata via) subito dopo. Coprire il tavolo con un foglio (preferibilmente con i giornali). Colora accuratamente l'icosaedro con quattro colori 1, 2, 3, 4, come mostrato in fig. Fico. 7. Puoi cambiare l'ordine: prima colora i palloncini e poi incollali. Allo stesso tempo, i piccoli cerchi devono essere lasciati non verniciati in modo che la vernice non si attacchi alla vernice.

Ora il compito più difficile (più precisamente, l'intera sequenza).

Assegnazione 6 (Più precisamente, il tema generale). Traccia l'icosaedro come un tetraedro e un ottaedro Riso. 2 e 3 Ciò significa che dovrebbero esserci quattro palline su ciascun bordo. In questa variante, l'attività richiede sia tempo che denaro. Iniziamo scoprendo di quante palline hai bisogno. Ogni faccia ha dieci sfere, quindi l'icosaedro ne ha bisogno di duecento? NO! Dobbiamo ricordare che molte palle sono condivise. Quanti spigoli ha un icosaedro? Può essere faticosamente calcolato, ma a cosa serve la formula di Eulero?

w–k+s=2

dove w, k, s sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce. Ricordiamo che w = 12, s = 20, che significa k = 30. Abbiamo 30 spigoli dell'icosaedro. Puoi farlo in modo diverso, perché se ci sono 20 triangoli, hanno solo 60 bordi, ma due di essi sono comuni.

Calcoliamo quante palline ti servono. In ogni triangolo c'è solo una palla interna, né nella parte superiore del nostro corpo, né sul bordo. Quindi, abbiamo un totale di 20 palline di questo tipo. Ci sono 12 picchi. Ogni bordo ha due sfere non di vertice (sono all'interno del bordo, ma non all'interno della faccia). Dato che ci sono 30 bordi, ci sono 60 biglie, ma due di esse sono condivise, il che significa che hai bisogno solo di 30 biglie, quindi hai bisogno di un totale di 20 + 12 + 30 = 62 biglie. Le palline possono essere acquistate per almeno 50 centesimi (di solito più costose). Se aggiungi il costo della colla ne uscirà... molto. Un buon incollaggio richiede diverse ore di lavoro scrupoloso. Insieme sono adatti per un passatempo rilassante - li consiglio invece di, ad esempio, guardare la TV.

Digressione 1. Nella serie di film di Andrzej Wajda Years, Days, due uomini giocano a scacchi "perché in qualche modo devono passare il tempo fino a cena". Si svolge a Cracovia in Galizia. Anzi: i giornali sono già stati letti (allora avevano 4 pagine), la tv e il telefono non sono ancora stati inventati, non ci sono partite di calcio. La noia nelle pozzanghere. In una situazione del genere, le persone hanno inventato l'intrattenimento per se stesse. Oggi li abbiamo dopo aver premuto il telecomando ...

Digressione 2. Alla riunione del 2019 dell'Associazione degli insegnanti di matematica, un professore spagnolo ha dimostrato un programma per computer in grado di dipingere pareti solide di qualsiasi colore. Era un po' inquietante, perché disegnavano solo le mani, quasi tagliavano il corpo. Ho pensato tra me e me: quanto ci si può divertire da una tale "ombreggiatura"? Tutto dura due minuti e al quarto non ricordiamo nulla. Nel frattempo, il "ricamato" vecchio stile calma ed educa. Chi non crede, ci provi.

Torniamo al XNUMX° secolo e alle nostre realtà. Se non vogliamo il rilassamento sotto forma di un laborioso incollaggio di palline, disegneremo almeno una griglia di un icosaedro, i cui bordi hanno quattro palline. Come farlo? Tritalo bene figura 6. Il lettore attento indovina già il problema:

Lavoro 7. È possibile enumerare le palline con numeri da 0 a 9 in modo che tutti questi numeri appaiano su ciascuna faccia di un tale icosaedro?

Per cosa veniamo pagati?

Oggi ci poniamo spesso la domanda sullo scopo delle nostre attività, e il "contribuente grigio" si chiederà perché dovrebbe pagare dei matematici per risolvere tali enigmi?

La risposta è molto semplice. Tali "rompicapi", di per sé interessanti, sono "un frammento di qualcosa di più serio". Dopotutto, le parate militari sono solo una parte esterna e spettacolare di un servizio difficile. Farò solo un esempio, ma inizierò con una materia matematica strana ma riconosciuta a livello internazionale. Nel 1852 uno studente inglese chiese al suo professore se fosse possibile colorare una mappa con quattro colori in modo che i paesi vicini siano sempre mostrati con colori diversi? Vorrei aggiungere che non consideriamo "vicini" coloro che si incontrano in un solo punto, come gli stati del Wyoming e dello Utah negli Stati Uniti. Il professore non lo sapeva... e il problema aspettava una soluzione da oltre cento anni.

8. Icosaedro dai blocchi RECO. I riflettori flash mostrano ciò che l'icosaedro ha in comune con il triangolo e il pentagono. Cinque triangoli convergono ad ogni vertice.

È successo in modo inaspettato. Nel 1976 un gruppo di matematici americani scrisse un programma per risolvere questo problema (e decisero: sì, quattro colori saranno sempre sufficienti). Questa è stata la prima prova di un fatto matematico ottenuto con l'aiuto di una "macchina matematica" - come veniva chiamato un computer mezzo secolo fa (e anche prima: "cervello elettronico").

Ecco una "mappa dell'Europa" appositamente mostrata (Fico. 9). Quei paesi che hanno un confine comune sono collegati. Colorare la mappa equivale a colorare i cerchi di questo grafico (chiamato grafico) in modo che nessun cerchio connesso abbia lo stesso colore. Uno sguardo a Liechtenstein, Belgio, Francia e Germania mostra che tre colori non bastano. Se vuoi, Lettore, colorala con quattro colori.

9. Chi confina con chi in Europa?

Ebbene sì, ma vale i soldi dei contribuenti? Quindi diamo un'occhiata allo stesso grafico in modo leggermente diverso. Dimentica che ci sono stati e confini. Lascia che i cerchi simboleggino i pacchetti di informazioni da inviare da un punto all'altro (ad esempio, da P a EST), e i segmenti rappresentino le possibili connessioni, ognuna delle quali ha la propria larghezza di banda. Inviare il prima possibile?

Per prima cosa, diamo un'occhiata a una situazione molto semplificata, ma anche molto interessante da un punto di vista matematico. Dobbiamo inviare qualcosa dal punto S (= come inizio) al punto M (= fine) utilizzando una rete di connessione con la stessa larghezza di banda, diciamo 1. Lo vediamo in Fico. 10.

10. Rete di collegamenti da Statsyika Zdrój a Megapolis.

Immaginiamo che circa 89 bit di informazioni debbano essere inviati da S a M. L'autore di queste parole ama i problemi con i treni, quindi immagina di essere un manager alla Stacie Zdrój, da dove deve inviare 144 vagoni. alla stazione della metropoli. Perché esattamente 144? Perché, come vedremo, verrà utilizzato per calcolare il throughput dell'intera rete. La capacità è 1 per lotto, ovvero può passare un'auto per unità di tempo (un bit di informazione, eventualmente anche Gigabyte).

Assicuriamoci che tutte le auto si incontrino contemporaneamente in M. Ognuno arriva in 89 unità di tempo. Se devo inviare un pacchetto di informazioni molto importante da S a M, lo spezzo in gruppi di 144 unità e lo spingo come sopra. La matematica garantisce che questo sarà il più veloce. Come sapevo che ti serviva l'89? In realtà ho indovinato, ma se non avessi indovinato, avrei dovuto capirlo Equazioni di Kirchhoff (qualcuno ricorda? - queste sono equazioni che descrivono il flusso di corrente). La larghezza di banda della rete è 184/89, che è approssimativamente uguale a 1,62.

A proposito di gioia

A proposito, mi piace il numero 144. Mi piaceva prendere l'autobus con questo numero fino alla Piazza del Castello di Varsavia, quando accanto non c'era il Castello Reale restaurato. Forse i giovani lettori sanno cosa sono una dozzina. Sono 12 copie, ma solo i lettori più anziani ricordano che una dozzina di dozzine, ad es. 122=144, questo è il cosiddetto lotto. E tutti coloro che conoscono la matematica un po' più del curriculum scolastico lo capiranno immediatamente Fico. 10 abbiamo numeri di Fibonacci e che la larghezza di banda della rete è vicina al "numero aureo"

Nella sequenza di Fibonacci, 144 è l'unico numero che è un quadrato perfetto. Anche centoquarantaquattro è un "numero gioioso". Ecco come un matematico dilettante indiano Dattatreya Ramachandra Caprecar nel 1955 nominò numeri divisibili per la somma delle loro cifre costituenti:

Se lo sapesse Adam Mickiewicz, avrebbe certamente scritto di no in Dzyady: “Da una strana madre; il suo sangue sono i suoi vecchi eroi / E il suo nome è quarantaquattro, solo più elegante: E il suo nome è centoquarantaquattro.

Prendi sul serio l'intrattenimento

Spero di aver convinto i lettori che i sudoku sono il lato divertente delle domande che meritano sicuramente di essere prese sul serio. Non posso sviluppare ulteriormente questo argomento. Oh, calcolo completo della larghezza di banda della rete dal diagramma fornito Fico. 9 scrivere un sistema di equazioni richiederebbe due o più ore, forse anche decine di secondi (!) di lavoro al computer.