Quadrati colorati ed eclissi solari

L'articolo descrive le mie lezioni per studenti delle scuole medie - borsisti del National Children's Fund. La fondazione ricerca bambini e giovani particolarmente dotati (dalla XNUMXa elementare alla scuola superiore) e offre "borse di studio" a studenti selezionati. Tuttavia, non consistono affatto nel prelevare denaro, ma in un'assistenza completa per lo sviluppo del talento, di regola, per molti anni. A differenza di molti altri progetti di questo tipo, noti scienziati, personaggi della cultura, eminenti umanisti e altri saggi, così come alcuni politici, prendono sul serio i reparti della Fondazione.

L'attività della Fondazione si estende a tutte le discipline che sono materie scolastiche di base, ad eccezione dello sport, compreso l'art. Il fondo è stato creato nel 1983 come antidoto alla realtà di allora. Chiunque può candidarsi al fondo (di solito attraverso una scuola, preferibilmente entro la fine dell'anno scolastico), ma, ovviamente, c'è un certo setaccio, una certa procedura di qualificazione.

Come ho già accennato, l'articolo si basa sulle mie masterclass, in particolare a Gdynia, nel marzo 2016, alla 24a scuola media della III scuola superiore. Marina Militare. Da molti anni questi seminari sono organizzati sotto gli auspici della Fondazione da Wojciech Thomalczyk, insegnante di straordinario carisma e di alto livello intellettuale. Nel 2008 è entrato nella top ten in Polonia, a cui è stato conferito il titolo di Professore di Pedagogia (previsto per legge molti anni fa). C'è una leggera esagerazione nell'affermazione: “L'educazione è l'asse del mondo”.

e la luna sono sempre affascinanti - allora puoi sentire che viviamo su un minuscolo pianeta in uno spazio enorme, dove tutto è in movimento, misurato in centimetri e secondi. Mi spaventa anche un po', anche la prospettiva temporale. Apprendiamo che la prossima eclissi totale, visibile dall'area dell'odierna Varsavia, avverrà nel... 2681. Chissà chi lo vedrà? Le dimensioni apparenti del Sole e della Luna nel nostro cielo sono quasi le stesse: ecco perché le eclissi sono così brevi e così spettacolari. Per secoli, quei brevi minuti dovrebbero bastare agli astronomi per vedere la corona solare. È strano che accadano due volte l'anno... ma questo significa solo che da qualche parte sulla Terra possono essere visti per un breve periodo di tempo. Come risultato dei movimenti di marea, la Luna si sta allontanando dalla Terra: tra 260 milioni di anni sarà così lontana che noi (noi???) vedremo solo eclissi anulari.

A quanto pare il primo a prevedere eclissi, fu Talete di Mileto (28-585 secoli aC). Probabilmente non sapremo se sia effettivamente accaduto, cioè se lo abbia predetto, perché il fatto che l'eclissi in Asia Minore sia avvenuta nel maggio 567, 566 aC è un fatto confermato da calcoli moderni. Naturalmente, cito i dati per il resoconto del tempo di oggi. Quando ero bambino, immaginavo come le persone contassero gli anni. Quindi questo è, ad esempio, il XNUMX aC, Capodanno sta arrivando e la gente si rallegra: solo XNUMX anni aC! Come devono essere stati felici quando finalmente è arrivata la “nostra era”! Che fine di millennio abbiamo vissuto qualche anno fa!

La matematica del calcolo di date e intervalli eclissi, non è particolarmente complicato, ma è zeppo di ogni sorta di fattori legati alla regolarità e, peggio ancora, al movimento irregolare del corpo nelle orbite. Mi piacerebbe anche sapere questa matematica. Come poteva Talete di Mileto fare i calcoli necessari? La risposta è semplice. Devi avere una mappa del cielo. Come fare una mappa del genere? Anche questo non è difficile, gli antichi egizi sapevano come farlo. A mezzanotte due sacerdoti escono sul tetto del tempio. Ognuno di loro si siede e disegna ciò che vede (come il suo collega). Dopo duemila anni, sappiamo tutto sul movimento dei pianeti...

Bella geometria, o divertimento sul "tappeto"

Ai greci non piacevano i numeri, ricorrevano alla geometria. Questo è ciò che faremo. I nostri eclissi saranno semplici, colorati, ma altrettanto interessanti e reali. Accettiamo la convenzione che la figura blu si muova in modo tale da eclissare quella rossa. Chiamiamo la figura blu la luna e la figura rossa il sole. Ci poniamo le seguenti domande:

1. quanto dura un'eclissi;
2. quando la metà del bersaglio è coperta;

   Riso. 1 "tappeto" multicolore con sole e luna

3. qual è la copertura massima;
4. è possibile analizzare la dipendenza dal tempo della copertura dello scudo? In questo articolo (sono limitato dalla quantità di testo) mi concentrerò sulla seconda domanda. Dietro questa c'è una bella geometria, forse senza calcoli noiosi. Diamo un'occhiata alla fig. 1. È possibile presumere che sarà associato a ... un'eclissi solare?

Devo onestamente dire che i compiti di cui parlerò saranno appositamente selezionati, adattati alle conoscenze e alle capacità degli studenti delle scuole medie e superiori. Ma ci alleniamo su compiti come i musicisti suonano le scale e gli atleti fanno esercizi generali di sviluppo. E poi non è solo un bel tappeto (fig. 1)?

Riso. 2 Luna "Blu" e Sole "Rosso".

I nostri corpi celesti, almeno inizialmente, saranno quadrati colorati. La luna è blu, il sole è rosso (meglio per colorare). con il presente eclissi La luna insegue il sole nel cielo, lo raggiunge... e lo chiude. Sarà lo stesso con noi. Il caso più semplice, quando la Luna si muove rispetto al Sole, come mostrato in Fig. 2. Un'eclissi inizia quando il bordo del disco della Luna tocca il bordo del disco del Sole (Fig. 2) e termina quando lo supera.

Riso. 3 La luna si avvicina al sole in diagonale

Assumiamo che la "Luna" si sposti di una cella per unità di tempo, ad esempio al minuto. L'eclissi quindi dura otto unità di tempo, diciamo minuti. Metà eclissi solari completamente oscurato La metà del quadrante viene chiusa due volte: dopo 2 e 6 minuti. Il grafico di oscuramento percentuale è semplice. Durante i primi due minuti, lo scudo si chiude uniformemente a una velocità da zero a 1, i due minuti successivi viene esposto alla stessa velocità.

Ecco un esempio più interessante (Fig. 3). La luna si avvicina al sole in diagonale. Secondo il nostro accordo di pagamento al minuto, l'eclissi dura 8√2 minuti - nel mezzo di questo tempo abbiamo un'eclissi totale. Calcoliamo quale parte del sole è coperta dopo il tempo t (Fig. 3). Se sono trascorsi t minuti dall'inizio dell'eclisse, e di conseguenza la Luna è come mostrato in Fig. 5, quindi (attenzione!), quindi è coperto (l'area del quadrato APQR), pari alla metà del disco solare; quindi, era coperto quando, cioè dopo 4 minuti (quindi 4 minuti prima della fine dell'eclissi).

Riso. 4 Grafico della funzione "ombreggiatura".

Totalità dura un momento (t = 4√2), e il grafico della funzione "parte ombreggiata" è costituito da due archi di parabole (Fig. 4).

La nostra luna blu toccherà l'angolo con il sole rosso, ma lo coprirà, andando non in diagonale, ma leggermente in diagonale.Quando complichiamo un po' il movimento appare una geometria interessante (Fig. 6). La direzione del movimento è ora il vettore [4,3], cioè "quattro celle a destra, tre celle in alto". La posizione del Sole è tale che l'eclissi inizia (posizione A) quando i lati dei "corpi celesti" convergono per un quarto della loro lunghezza. Quando la Luna si sposta in posizione B, eclisserà un sesto del Sole e in posizione C eclisserà la metà. In posizione D, abbiamo un'eclissi totale, e poi tutto torna "come era".

Riso. 5 Parte del Sole nascosta nel tempo t

L'eclissi termina quando la Luna è in posizione G. È durata quanto lunghezza della sezione AG. Se, come prima, prendiamo come unità di tempo il tempo durante il quale la Luna passa "un quadrato", allora la lunghezza dell'AG è uguale. Se tornassimo alla vecchia convenzione secondo cui i nostri corpi celesti sono 4 per 4, il risultato sarebbe diverso (quale?). Come è facile mostrare, il target si chiude dopo t < 15. Il grafico della funzione “percentuale di copertura dello schermo” è visibile in fig. 6.

Riso. 6 Grafico della funzione "protezione percentuale".

Eclipse e equazione di salto

Riso. 7 Ostruzione del disco solare durante l'eclissi mostrata in fig. 6

Il problema delle eclissi sarebbe incompleto se non considerassimo il caso dei cerchi. Questo è molto più complicato, ma proviamo a capire quando un cerchio eclissa metà dell'altro - e nel caso più semplice, quando uno di essi si muove lungo il diametro che li collega entrambi. Il disegno è familiare ai possessori di alcune carte di credito.

Calcolare la posizione dei campi è complicato, poiché richiede, in primo luogo, la conoscenza della formula per l'area di un segmento circolare, in secondo luogo, la conoscenza dell'arco dell'angolo e, in terzo luogo (e peggio di tutti), l'abilità per risolvere una certa equazione di salto. Non spiegherò cos'è una "equazione transitiva", guardiamo un esempio (Fig. 8).

Riso. 8 Eclissi "sferica".

Una sezione circolare è la "ciotola" che rimane dopo aver tagliato un cerchio con una linea retta. L'area di un tale segmento è S = 1/2r²(φ-sinφ), dove r è il raggio della circonferenza, e φ è l'angolo centrale su cui poggia il segmento (Fig. 8). Questo si ottiene facilmente sottraendo l'area del triangolo dall'area del settore circolare.

Episodio O₁O₂ (la distanza tra i centri dei cerchi) è quindi uguale a 2rcosφ/2, e l'altezza (larghezza, “vita”) h = 2rsinφ/2. Quindi, se vogliamo calcolare quando la Luna ricoprirà metà del disco solare, dobbiamo risolvere l'equazione: che, dopo la semplificazione, diventa:

Riso. 9 Grafici di due funzioni

La soluzione di tali equazioni va oltre lo scopo della semplice algebra: l'equazione contiene sia gli angoli che le loro funzioni trigonometriche. L'equazione è fuori dalla portata dei metodi tradizionali. Ecco perché si chiama saltare. Diamo prima un'occhiata ai grafici di entrambe le funzioni, cioè funzioni e funzioni, da questa figura possiamo leggere una soluzione approssimativa. Tuttavia, possiamo ottenere un'approssimazione iterativa o... utilizzare l'opzione Risolutore nel foglio di calcolo di Excel. Ogni studente delle superiori dovrebbe essere in grado di farlo, perché è il 20° secolo. Ho usato uno strumento Mathematica più sofisticato ed ecco la nostra soluzione con XNUMX cifre decimali di precisione non necessaria:

ImpostaPrecisione[TrovaRadice[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Riso. 10 Animazione di eclissi in matematica

Lo trasformiamo in gradi moltiplicando per 180/π. Otteniamo 132 gradi, 20 minuti, 45 e un quarto di secondo d'arco. Calcoliamo che la distanza dal centro del cerchio è O₁O₂ = 0,808 raggio e "vita" 2,310.