Lem, Tokarchuk, Cracovia, matematica

Dal 3 al 7 settembre 2019 si è svolto a Cracovia il congresso dell'anniversario della Società matematica polacca. Anniversario, perché centenario della fondazione della Società. Esisteva in Galizia dai primi anni (senza l'aggettivo che il liberalismo polacco dell'imperatore FJ1 aveva i suoi limiti), ma come organizzazione nazionale operò solo dal 1919. I principali progressi nella matematica polacca risalgono agli anni 1919-1939 del XNUMX. XNUMX all'Università Jan Casimir di Lviv, ma la convention non ha potuto svolgersi lì, e non è nemmeno la migliore idea.

L'incontro è stato molto festoso, ricco di eventi collaterali (tra cui un'esibizione di Jacek Wojcicki al castello di Niepolomice). Le lezioni principali sono state tenute da 28 relatori. Erano in polacco perché gli ospiti invitati erano polacchi, non necessariamente nel senso della cittadinanza, ma riconoscendosi polacchi. Oh sì, solo tredici docenti provenivano da istituzioni scientifiche polacche, i restanti quindici provenivano da USA (7), Francia (4), Inghilterra (2), Germania (1) e Canada (1). Bene, questo è un fenomeno ben noto nei campionati di calcio.

I migliori si esibiscono costantemente all'estero. È un po' triste, ma la libertà è libertà. Diversi matematici polacchi hanno reso irraggiungibili le carriere all'estero in Polonia. Il denaro gioca un ruolo secondario qui, ma non voglio scrivere su questi argomenti. Forse solo due commenti.

In Russia, e prima ancora in Unione Sovietica, questo era ed è al livello più consapevole ... e in qualche modo nessuno vuole emigrare lì. A loro volta, in Germania, circa una dozzina di candidati fanno domanda per una cattedra in qualsiasi università (i colleghi dell'Università di Costanza hanno affermato di aver ricevuto 120 domande in un anno, 50 delle quali molto buone e 20 eccellenti).

Poche delle conferenze del Congresso del Giubileo possono essere riassunte nel nostro diario mensile. Intestazioni come "Limiti di grafi sparsi e loro applicazioni" o "Struttura lineare e geometria di sottospazi e spazi fattoriali per spazi normalizzati ad alta dimensione" non diranno nulla al lettore medio. Il secondo argomento è stato introdotto dal mio amico dei primi piatti, Nicole Tomchak.

Alcuni anni fa, è stata nominata per il risultato presentato in questa conferenza. Medaglia Campi è l'equivalente per i matematici. Finora, solo una donna ha ricevuto questo premio. Degna di nota è anche la conferenza Anna Marcinyak-Chohra (Università di Heidelberg) "Il ruolo dei modelli matematici meccanicistici in medicina sull'esempio della modellizzazione della leucemia".

entrato in medicina. All'Università di Varsavia, un gruppo guidato dal Prof. Jerzy Tyurin.

Il titolo della lezione sarà incomprensibile ai lettori Veslava Niziol (z prestiżowej Scuola Pedagogica Superiore) “-teoria adica di Hodge". Tuttavia, è questa conferenza che ho deciso di discutere qui.

Geometria - mondi adici

Si parte da piccole cose semplici. Ti ricordi, Lettore, il metodo dello scambio scritto? Decisamente. Ripensa agli anni spensierati delle elementari. Dividi 125051 per 23 (questa è l'azione a sinistra). Sai che può essere diverso (azione a destra)?

Questo nuovo metodo è interessante. Sto andando dalla fine. Dobbiamo dividere 125051 per 23. Per cosa dobbiamo moltiplicare 23 in modo che l'ultima cifra sia 1? Cercando in memoria abbiamo :=7. L'ultima cifra del risultato è 7. Moltiplicando, sottraendo, otteniamo 489. Come si moltiplica 23 per ottenere 9? Certo, per 3. Arriviamo al punto in cui determiniamo tutti i numeri del risultato. Lo troviamo poco pratico e più difficile del nostro solito metodo, ma è una questione di pratica!

Le cose prendono una piega diversa quando l'uomo coraggioso non è completamente diviso dal divisore. Facciamo la divisione e vediamo cosa succede.

Sulla sinistra c'è una tipica pista scolastica. Sulla destra c'è "i nostri strani".

Possiamo verificare entrambi i risultati moltiplicando. Comprendiamo il primo: un terzo del numero 4675 è millecinquecentocinquantotto e tre nel periodo. La seconda non ha senso: qual è questo numero preceduto da un numero infinito di sei e poi 8225?

Lasciamo per un momento la questione del significato. Giochiamo. Quindi dividiamo 1 per 3 e poi 1 per 7 che è un terzo e un settimo. Possiamo facilmente ottenere:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Quest'ultima riga significa: il blocco 285714 si ripete indefinitamente all'inizio e alla fine ce ne sono tre. Per chi non crede, ecco un test:

Ora aggiungiamo le frazioni:

Quindi aggiungiamo i numeri strani ricevuti e otteniamo (verifica) lo stesso numero strano.

......95238095238095238095238010

Possiamo verificare che questo sia uguale a

L'essenza è ancora da vedere, ma l'aritmetica è corretta.

Un altro esempio.

Il solito, seppur ampio, numero 40081787109376 ha un immobile interessante: anche la sua piazza termina con 40081787109376. il numero x40081787109376, che è ( x40081787109376)² termina anche con x40081787109376.

Mancia. Abbiamo 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, quindi la cifra successiva è un complemento da tre a dieci, che è 7. Controlliamo: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

La domanda sul perché sia ​​così è difficile. È più semplice: trova desinenze simili per i numeri che terminano con 5. Continuando il processo di ricerca delle cifre successive indefinitamente, arriveremo a tali "numeri" che ²=²= (e nessuno di questi numeri è uguale a zero o uno).

capiamo bene. Più lontano è il punto decimale, meno importante è il numero. Nei calcoli ingegneristici, la prima cifra dopo il punto decimale è importante, così come la seconda, ma in molti casi si può presumere che il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro sia 3,14. Naturalmente, nell'industria aeronautica devono essere inclusi più numeri, ma non credo che ce ne saranno più di dieci.

Il nome è apparso nel titolo dell'articolo Stanislav Lem (1921-2006), così come il nostro nuovo premio Nobel. Signora Olga Tokarchuk L'ho menzionato solo perché urlando l'ingiustiziaIl fatto è che Stanislav Lem non ha ricevuto il premio Nobel per la letteratura. Ma non è dalla nostra parte.

Lem spesso prevedeva il futuro. Si chiese cosa sarebbe successo quando fossero diventati indipendenti dagli umani. Quanti film su questo argomento sono apparsi ultimamente! Lem predisse e descrisse abbastanza accuratamente il lettore ottico e la farmacologia del futuro.

Conosceva la matematica, anche se a volte la trattava come un ornamento, non curandosi della correttezza dei calcoli. Ad esempio, nella storia "Trial", il pilota Pirks entra in orbita B68 con un periodo di rotazione di 4 ore e 29 minuti e l'istruzione è di 4 ore e 26 minuti. Ricorda che hanno calcolato con un errore dello 0,3 per cento. Dà i dati alla Calcolatrice, e la calcolatrice risponde che va tutto bene... Ebbene, no. Tre decimi di percento di 266 minuti sono meno di un minuto. Ma questo errore cambia qualcosa? Forse era apposta?

Perché scrivo di questo? Anche molti matematici hanno sollevato questa domanda: immaginate una comunità. Non hanno la nostra mente umana. Per noi, 1609,12134 e 1609,23245 sono numeri molto vicini - buone approssimazioni al miglio inglese. Tuttavia, i computer possono considerare vicini i numeri 468146123456123456 e 9999999123456123456. Hanno le stesse terminazioni a dodici cifre.

Più cifre comuni alla fine, più vicini sono i numeri. E questo porta alla cosiddetta distanza -adico. Sia p uguale a 10 per un momento; perché solo "per un po '", spiegherò ... ora. La distanza di 10 punti dei numeri scritti sopra è 

o un milionesimo, perché questi numeri hanno sei cifre comuni alla fine. Tutti i numeri interi differiscono da zero di uno o meno. Non scriverò nemmeno un modello perché non ha importanza. Più numeri identici alla fine, più vicini sono i numeri (per una persona, al contrario, vengono considerati i numeri iniziali). È importante che p sia un numero primo.

Quindi, a loro piacciono gli zeri e gli uno, quindi vedono tutto in questi schemi: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

Nel romanzo Glos Pana, Stanisław Lem assume scienziati per provare a leggere un messaggio inviato dall'aldilà, ovviamente con codice zero-uno. Qualcuno ci scrive? Lem sostiene che "qualsiasi messaggio può essere letto se è un messaggio che qualcuno voleva dirci qualcosa". Ma lo è? Lascio ai lettori questo dilemma.

Viviamo nello spazio XNUMXD R³. Lettera R ricorda che gli assi sono costituiti da numeri reali, cioè interi, negativi e positivi, zero, razionali (cioè frazioni) e irrazionali, che i lettori incontravano a scuola (), e numeri detti trascendentali, inaccessibili in algebra (questo è il numero π , che da più di duemila anni collega il diametro di un cerchio con la sua circonferenza).

E se gli assi del nostro spazio fossero numeri -adici?

Jerzy Mioduszowski, un matematico dell'Università della Slesia, sostiene che potrebbe essere così, e anche che potrebbe essere così. Possiamo (dice Jerzy Mioduszewski) occupare lo stesso posto nello spazio con tali esseri, senza interferire e senza vederci.

Quindi, abbiamo tutta la geometria del "loro" mondo da esplorare. È improbabile che “loro” pensino allo stesso modo di noi e studino anche la nostra geometria, perché il nostro è un caso limite di tutti i “loro” mondi. "Loro", cioè tutti i mondi infernali, dove sono numeri primi. In particolare, = 2 e questo affascinante mondo di zero-uno...

Qui il lettore dell'articolo può arrabbiarsi e persino arrabbiarsi. "È questo il genere di sciocchezze che fanno i matematici?" Fantasticano di bere vodka dopo cena, con i miei (=contribuenti) soldi. E disperdili in quattro venti, lasciali andare alle fattorie statali ... oh, non ci sono più fattorie statali!

Relax. hanno sempre avuto un debole per tali battute. Vorrei citare solo il teorema del panino: se ho un panino al formaggio e prosciutto, posso tagliarlo in un taglio per dividere a metà il panino, il prosciutto e il formaggio. Questo è inutile in pratica. Il punto è che questa è solo un'applicazione giocosa di un interessante teorema generale dell'analisi funzionale.

Quanto è serio trattare con i numeri -adici e la relativa geometria? Vorrei ricordare al lettore che i numeri razionali (semplicisticamente: frazioni) giacciono fitti sulla linea, ma non la riempiono da vicino.

I numeri irrazionali vivono in "buchi". Sono tanti, infiniti, ma si può anche dire che la loro infinità è maggiore di quella dei più semplici, in cui si contano: uno, due, tre, quattro... e così via fino a ∞. Questo è il nostro riempimento umano di "buchi". Abbiamo ereditato questa struttura mentale da pitagorici. 

Ma ciò che è interessante e importante per un matematico è che non si possono "riempire" questi buchi con numeri irrazionali e p-adici (per tutti i primi p). Per quei lettori che lo capiscono (e questo veniva insegnato in tutte le scuole superiori trent'anni fa), il punto è che ogni sequenza che soddisfa Lo stato di Cauchy, converge.

Uno spazio in cui ciò è vero si chiama completo ("non manca nulla"). Mi ricorderò il numero 547721051611007740081787109376.

La sequenza 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 e così via converge a un certo limite, che è approssimativamente 0,5477210516110077400 81787109376.

Tuttavia, dal punto di vista della distanza 10-adica, la sequenza dei numeri 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 e così via converge anche al numero "strano" ... 547721051 611007740081787109376.

Ma anche questo potrebbe non essere un motivo sufficiente per dare agli scienziati denaro pubblico. In generale, noi (matematici) ci difendiamo dicendo che è impossibile prevedere a cosa servirà la nostra ricerca. È quasi certo che tutti saranno di qualche utilità e che solo un'azione su un ampio fronte ha possibilità di successo.

Una delle più grandi invenzioni, la macchina a raggi X, è stata creata dopo la scoperta accidentale della radioattività Bekkerela. Se non fosse stato per questo caso, molti anni di ricerca sarebbero stati probabilmente inutili. "Stiamo cercando un modo per eseguire una radiografia del corpo umano".

Infine, la cosa più importante. Tutti concordano sul fatto che la capacità di risolvere le equazioni gioca un ruolo. E qui i nostri strani numeri sono ben protetti. Il teorema corrispondente (Odio Minkowski) dice che alcune equazioni possono essere risolte in numeri razionali se e solo se hanno radici e radici reali in ogni corpo -adico.

Più o meno questo approccio è stato presentato Andrea Wiles, che ha risolto l'equazione matematica più famosa degli ultimi trecento anni - consiglio ai lettori di inserirla in un motore di ricerca "L'ultimo teorema di Fermat".