fascino inverso

Si parla molto del "fascino degli opposti", e non solo in matematica. Ricorda che i numeri opposti sono quelli che differiscono solo nel segno: più 7 e meno 7. La somma dei numeri opposti è zero. Ma per noi (cioè i matematici) i reciproci sono più interessanti. Se il prodotto dei numeri è uguale a 1, allora questi numeri sono inversi tra loro. Ogni numero ha il suo opposto, ogni numero diverso da zero ha il suo inverso. Il reciproco del reciproco è il seme.

L'inversione si verifica quando due quantità sono correlate tra loro in modo che se una aumenta, l'altra diminuisce a una velocità corrispondente. "Rilevante" significa che il prodotto di queste quantità non cambia. Ricordiamo da scuola: questa è una proporzione inversa. Se voglio arrivare a destinazione due volte più veloce (cioè dimezzare il tempo), devo raddoppiare la mia velocità. Se il volume di un recipiente sigillato con gas viene ridotto di n volte, la sua pressione aumenterà di n volte.

Nell'istruzione elementare, distinguiamo attentamente tra confronti differenziali e relativi. "Quanto ancora"? – “Quante volte ancora?”

Ecco alcune attività scolastiche:

Lavoro 1. Dei due valori positivi, il primo è 5 volte maggiore del secondo e contemporaneamente 5 volte maggiore del primo. Quali sono le dimensioni?

Lavoro 2. Se un numero è 3 maggiore del secondo e il secondo è 2 maggiore del terzo, quanto è maggiore il primo numero del terzo? Se il primo numero positivo è il doppio del secondo e il primo numero è tre volte il terzo, quante volte il primo numero è maggiore del terzo?

Lavoro 3. Nell'attività 2 sono consentiti solo numeri naturali. È possibile un tale accordo come descritto?

Lavoro 4. Dei due valori positivi, il primo è 5 volte il secondo e il secondo è 5 volte il primo. È possibile?

Il concetto di "medio" o "medio" sembra molto semplice. Se ho pedalato 55 km il lunedì, 45 km il martedì e 80 km il mercoledì, ho pedalato in media 60 km al giorno. Siamo pienamente d'accordo con questi calcoli, anche se sono un po' strani perché non ho percorso 60 km in un giorno. Accettiamo altrettanto facilmente le azioni di una persona: se duecento persone visitano un ristorante entro sei giorni, la tariffa media giornaliera è di 33 persone e una terza. Mah!

Ci sono problemi solo con la dimensione media. Mi piace andare in bicicletta. Così ho approfittato dell'offerta dell'agenzia di viaggi "Andiamo con noi" - consegnano i bagagli in hotel, dove il cliente va in bicicletta per scopi ricreativi. Venerdì ho guidato per quattro ore: le prime due a una velocità di 24 km orari. Poi mi sono stancato così tanto che per i due successivi al ritmo di soli 16 all'ora. Qual era la mia velocità media? Ovviamente (24+16)/2=20km=20km/h.

Sabato però i bagagli sono stati lasciati in albergo, sono andato a vedere le rovine del castello, che dista 24 km, e dopo averle viste sono tornato. Ho guidato un'ora in una direzione, sono tornato indietro più lentamente, a una velocità di 16 km all'ora. Qual è stata la mia velocità media sulla tratta hotel-castello-hotel? 20 km orari? Ovviamente no. Dopotutto, ho percorso un totale di 48 km e ci ho messo un'ora ("là") e un'ora e mezza per tornare indietro. 48 km in due ore e mezza, ovvero ora 48/2,5=192/10=19,2 km! In questa situazione, la velocità media non è la media aritmetica, ma l'armonica dei valori dati:

e questa formula a due piani può essere letta come segue: la media armonica dei numeri positivi è il reciproco della media aritmetica del loro reciproco. Il reciproco della somma dei reciproci appare in molti cori di compiti scolastici: se un lavoratore scava ore, l'altro - b ore, allora, lavorando insieme, scavano in tempo. piscina d'acqua (una all'ora, l'altra a b ore). Se un resistore ha R1 e l'altro ha R2, allora hanno una resistenza parallela. 

Se un computer può risolvere un problema in pochi secondi, un altro computer in b secondi, quando lavorano insieme...

Fermare! Qui finisce l'analogia, perché tutto dipende dalla velocità della rete: dall'efficienza delle connessioni. I lavoratori possono anche ostacolarsi o aiutarsi a vicenda. Se un uomo riesce a scavare un pozzo in otto ore, possono farlo ottanta lavoratori in 1/10 d'ora (o 6 minuti)? Se sei facchini portano il pianoforte al primo piano in 6 minuti, quanto tempo impiegherà uno di loro a portare il pianoforte al sessantesimo piano? L'assurdità di tali problemi richiama alla mente la limitata applicabilità di tutta la matematica ai problemi "dal vero".

Caro venditore 

Le scale non sono più utilizzate. Ricordiamo che un peso veniva posto su una ciotola di tali bilance, e le merci da pesare venivano poste sull'altra, e quando il peso era in equilibrio, allora le merci pesavano tanto quanto il peso. Naturalmente, entrambi i bracci del carico devono essere della stessa lunghezza, altrimenti la pesatura sarà errata.

Oh giusto. Immagina un venditore che ha un peso con una leva ineguale. Tuttavia, vuole essere onesto con i clienti e pesa la merce in due lotti. Innanzitutto, mette un peso su un piatto e sull'altro una quantità corrispondente di merci, in modo che la bilancia sia in equilibrio. Quindi pesa la seconda "metà" della merce in ordine inverso, cioè mette il peso sulla seconda ciotola e la merce sulla prima. Poiché le mani sono disuguali, le "metà" non sono mai uguali. E la coscienza del venditore è limpida e gli acquirenti lodano la sua onestà: "Quello che ho rimosso qui, l'ho poi aggiunto".

Diamo però un'occhiata più da vicino al comportamento di un venditore che vuole essere onesto nonostante il peso precario. Siano i bracci della bilancia di lunghezza a e b. Se una delle ciotole è caricata con un chilogrammo di peso e l'altra con x merci, allora le bilance sono in equilibrio se ax = b la prima volta e bx = a la seconda volta. Quindi, la prima parte della merce è uguale a b / a chilogrammo, la seconda parte è a / b. Un buon peso ha a = b, quindi l'acquirente riceverà 2 kg di merce. Vediamo cosa succede quando a ≠ b. Allora a – b ≠ 0 e dalla formula di moltiplicazione ridotta abbiamo

Siamo arrivati ​​a un risultato inaspettato: il metodo apparentemente equo di "mediare" la misurazione in questo caso funziona a vantaggio dell'acquirente, che riceve più merce.

Assegnazione 5. (Importante, non in matematica!). Una zanzara pesa 2,5 milligrammi e un elefante cinque tonnellate (questo è un dato abbastanza corretto). Calcola la media aritmetica, la media geometrica e la media armonica delle masse di zanzare ed elefanti (pesi). Controlla i calcoli e vedi se hanno senso oltre agli esercizi aritmetici. Diamo un'occhiata ad altri esempi di calcoli matematici che non hanno senso nella "vita reale". Suggerimento: abbiamo già esaminato un esempio in questo articolo. Questo significa che uno studente anonimo la cui opinione ho trovato su Internet aveva ragione: "La matematica inganna le persone con i numeri"?

Sì, sono d'accordo sul fatto che nella grandezza della matematica puoi "ingannare" le persone: ogni secondo annuncio di shampoo dice che aumenta la morbidezza di una certa percentuale. Cerchiamo altri esempi di utili strumenti quotidiani che possono essere utilizzati per l'attività criminale?

Nonni!

Il titolo di questo passaggio è un verbo (prima persona plurale) non un sostantivo (nominale plurale di un millesimo di chilogrammo). L'armonia implica ordine e musica. Per gli antichi greci, la musica era una branca della scienza - bisogna ammettere che se lo diciamo, trasferiamo il significato attuale della parola "scienza" al tempo prima della nostra era. Pitagora visse nel XIX secolo aC Non solo non conosceva il computer, il cellulare e la posta elettronica, ma non sapeva nemmeno chi fossero Robert Lewandowski, Mieszko I, Carlo Magno e Cicerone. Non conosceva i numeri arabi e nemmeno quelli romani (entrarono in uso intorno al V secolo a.C.), non sapeva cosa fossero le guerre puniche... Ma conosceva la musica...

Sapeva che sugli strumenti a corda i coefficienti di vibrazione erano inversamente proporzionali alla lunghezza delle parti vibranti delle corde. Sapeva, sapeva, semplicemente non poteva esprimerlo nel modo in cui lo facciamo oggi.

Le frequenze delle due vibrazioni delle corde che compongono un'ottava sono in rapporto 1:2, cioè la frequenza della nota più alta è il doppio della frequenza di quella più bassa. Il corretto rapporto di vibrazione per la quinta è 2:3, la quarta è 3:4, la terza maggiore pura è 4:5, la terza minore è 5:6. Questi sono piacevoli intervalli consonantici. Poi ce ne sono due neutre, con rapporti di vibrazione di 6:7 e 7:8, poi quelle dissonanti: un tono grande (8:9), un tono piccolo (9:10). Queste frazioni (rapporti) sono come i rapporti di membri successivi di una successione che i matematici (proprio per questo) chiamano serie armonica:

è una somma teoricamente infinita. Il rapporto delle oscillazioni dell'ottava può essere scritto come 2:4 e mettere una quinta tra loro: 2:3:4, cioè divideremo l'ottava in una quinta e una quarta. Questa è chiamata divisione del segmento armonico in matematica:

Riso. 1. Per un musicista: dividere l'ottava AB nella quinta AC.Per il matematico: segmentazione armonica

Cosa intendo quando parlo (sopra) di una somma teoricamente infinita, come la serie armonica? Si scopre che una tale somma può essere qualsiasi numero grande, la cosa principale è che aggiungiamo per molto tempo. Ci sono sempre meno ingredienti, ma ce ne sono sempre di più. Cosa prevale? Qui entriamo nel regno dell'analisi matematica. Si scopre che gli ingredienti sono esauriti, ma non molto rapidamente. Mostrerò che prendendo abbastanza ingredienti, posso riassumere:

arbitrariamente grande. Prendiamo "ad esempio" n = 1024. Raggruppiamo le parole come mostrato in figura:

In ogni parentesi, ogni parola è maggiore della precedente, tranne, ovviamente, l'ultima, che è uguale a se stessa. Nelle parentesi seguenti abbiamo 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 e 512 componenti; il valore della somma tra parentesi è maggiore di ½. Tutto questo è più di 5½. Calcoli più accurati mostrerebbero che questo importo è di circa 7,50918. Non molto, ma sempre, e puoi vedere che prendendo n qualsiasi grande, posso superare qualsiasi numero. Questo è incredibilmente lento (ad esempio, siamo in top ten solo con gli ingredienti), ma la crescita infinita ha sempre affascinato i matematici.

Viaggio all'infinito con la serie armonica

Ecco un enigma per una matematica piuttosto seria. Abbiamo una scorta illimitata di blocchi rettangolari (che dire, rettangolari!) con dimensioni, diciamo, 4 × 2 × 1. Considera un sistema composto da più (su Fico. 2 - quattro) blocchi, disposti in modo che il primo sia inclinato di ½ della sua lunghezza, il secondo dall'alto di ¼ e così via, il terzo di un sesto. Beh, forse per renderlo davvero stabile, incliniamo un po' meno il primo mattone. Non importa per i calcoli.

Riso. 2. Determinazione del baricentro

È anche facile capire che poiché la figura composta dai primi due blocchi (contando dall'alto) ha un centro di simmetria nel punto B, allora B è il baricentro. Definiamo geometricamente il baricentro del sistema, composto dai tre blocchi superiori. Qui basta un'argomentazione molto semplice. Dividiamo mentalmente la composizione a tre blocchi in due superiori e una terza inferiore. Questo centro deve giacere sulla sezione che collega i baricentro delle due parti. A che punto di questo episodio?

Ci sono due modi per designare. Nella prima utilizzeremo l'osservazione che questo centro deve trovarsi nel mezzo della piramide a tre blocchi, cioè su una linea retta che interseca il secondo blocco centrale. Nel secondo modo comprendiamo che poiché i due blocchi superiori hanno una massa totale doppia rispetto a quella di un singolo blocco n. 3 (in alto), il baricentro su questa sezione deve essere due volte più vicino a B rispetto al centro S del terzo blocco. Allo stesso modo troviamo il punto successivo: colleghiamo il centro trovato dei tre blocchi con il centro S del quarto blocco. Il centro dell'intero sistema è all'altezza 2 e nel punto che divide il segmento da 1 a 3 (cioè per ¾ della sua lunghezza).

I calcoli che faremo un po' più avanti portano al risultato mostrato in Fig. figura 3. I centri di gravità consecutivi vengono rimossi dal bordo destro del blocco inferiore da:

Pertanto, la proiezione del baricentro della piramide è sempre all'interno della base. La torre non cadrà. Ora diamo un'occhiata Fico. 3 e per un momento, utilizziamo come base il quinto blocco dall'alto (quello contrassegnato con il colore più brillante). Inclinazione superiore:

quindi, il suo bordo sinistro è 1 in più rispetto al bordo destro della base. Ecco il prossimo swing:

Qual è lo swing più grande? Lo sappiamo già! Non esiste il massimo! Prendendo anche i blocchi più piccoli, puoi arrivare a uno sbalzo di un chilometro - purtroppo solo matematicamente: non basterebbe tutta la Terra per costruire così tanti blocchi!

Riso. 3. Aggiungi più blocchi

Ora i calcoli che abbiamo lasciato sopra. Calcoleremo tutte le distanze "orizzontalmente" sull'asse x, perché è tutto ciò che c'è da fare. Il punto A (il centro di gravità del primo blocco) è a 1/2 dal bordo destro. Il punto B (il centro del sistema a due blocchi) è a 1/4 dal bordo destro del secondo blocco. Lascia che il punto di partenza sia la fine del secondo blocco (ora si passa al terzo). Ad esempio, dov'è il baricentro del blocco singolo n. 3? Metà della lunghezza di questo blocco, quindi, è 1/2 + 1/4 = 3/4 dal nostro punto di riferimento. Dov'è il punto C? Nei due terzi del segmento compreso tra 3/4 e 1/4, cioè nel punto precedente, cambiamo il punto di riferimento sul bordo destro del terzo blocco. Il baricentro del sistema a tre blocchi è ora rimosso dal nuovo punto di riferimento, e così via. Centro di gravità C_n una torre composta da n blocchi è distante 1/2n dal punto di riferimento istantaneo, che è il bordo destro del blocco di base, cioè l'ennesimo blocco dall'alto.

Poiché la serie dei reciproci diverge, possiamo ottenere qualsiasi grande variazione. Potrebbe essere effettivamente implementato? È come un'infinita torre di mattoni: prima o poi crollerà sotto il suo stesso peso. Nel nostro schema, le imprecisioni minime nel posizionamento dei blocchi (e il lento aumento delle somme parziali delle serie) significano che non andremo molto lontano.