Equazioni, codici, cifrari, matematica e poesia

Michal Shurek dice di sé: “Sono nato nel 1946. Mi sono laureato all'Università di Varsavia nel 1968 e da allora lavoro presso la Facoltà di Matematica, Informatica e Meccanica. Indirizzo scientifico: geometria algebrica. Di recente mi sono occupato di bundle vettoriali. Cos'è un raggio vettoriale? Quindi, i vettori devono essere strettamente legati con un filo e ne abbiamo già un mucchio. Il mio amico fisico Anthony Sim mi ha fatto entrare a far parte del Young Technician (ammette che dovrebbe ricevere royalties dalle mie parcelle). Ho scritto alcuni articoli e poi sono rimasto, e dal 1978 puoi leggere ogni mese cosa penso della matematica. Amo la montagna e, nonostante sia in sovrappeso, cerco di camminare. Penso che gli insegnanti siano i più importanti. Terrei i politici, qualunque siano le loro opzioni, in un'area fortemente sorvegliata in modo che non possano scappare. Dai da mangiare una volta al giorno. A un beagle di Tulek piaccio.

Un'equazione è come una cifra per un matematico. Risolvere equazioni, la quintessenza della matematica, è la lettura del testo cifrato. Questo è stato notato dai teologi sin dal XIX secolo. Giovanni Paolo II, che conosceva la matematica, lo ha scritto e menzionato più volte nelle sue prediche - purtroppo i fatti sono stati cancellati dalla mia memoria.

Nelle scienze scolastiche è rappresentato Pitagora come autore del teorema su qualche dipendenza in un triangolo rettangolo. Così è diventato parte della nostra filosofia eurocentrica. Eppure Pitagora ha molte più virtù. Fu lui a imporre ai suoi studenti il ​​dovere di "conoscere il mondo", da "cosa c'è dietro questa collina?" prima di studiare le stelle. Ecco perché gli europei hanno "scoperto" antiche civiltà, e non viceversa.

Alcuni lettori ricordanoModelli VièteE"; molti lettori più anziani ricordano il termine stesso dalla scuola e approssimativamente dal fatto che la domanda appariva in equazioni quadratiche. Queste regolarità sono “ideologicamente” crittografia informazioni.

Non c'è da stupirsi Francois Viet (1540-1603) si dedicò alla crittografia alla corte di Enrico IV (il primo re francese della dinastia dei Borbone, 1553-1610) e riuscì a decifrare la cifra usata dagli inglesi nella guerra con la Francia. Quindi ha interpretato lo stesso ruolo dei matematici polacchi (guidati da Marian Rejewski), che hanno scoperto i segreti della macchina di cifratura Enigma tedesca prima della seconda guerra mondiale.

Tema della moda

Esattamente. L'argomento "codici e cifrari" è diventato da tempo di moda nell'insegnamento. Ne ho già scritto più volte, e tra due mesi ci sarà un'altra serie. Questa volta scrivo con l'impressione di un film sulla guerra del 1920, dove la vittoria fu in gran parte dovuta alla violazione del codice delle truppe bolsceviche da parte di una squadra guidata dall'allora giovane Vaclav Sierpinski (1882-1969). No, non è ancora Enigma, è solo un'introduzione. Ricordo una scena del film in cui Józef Piłsudski (interpretato da Daniil Olbrychski) dice al capo del dipartimento di cifratura:

I messaggi decodificati portavano un messaggio importante: le truppe di Tukhachevsky non avrebbero ricevuto supporto. Puoi attaccare!

Conoscevo Vaclav Sierpinski (se così posso dire: io ero un giovane studente, lui un famoso professore), frequentavo le sue lezioni e seminari. Dava l'impressione di uno studioso avvizzito, distratto, impegnato con la sua disciplina e che non vedeva l'altro mondo. Ha tenuto conferenze in modo specifico, di fronte alla lavagna, senza guardare il pubblico ... ma si sentiva uno specialista eccezionale. In un modo o nell'altro, aveva determinate capacità matematiche, ad esempio per risolvere problemi. Ce ne sono altri: scienziati relativamente incapaci di risolvere enigmi, ma che hanno una profonda comprensione dell'intera teoria e sono in grado di avviare interi campi della creatività. Abbiamo bisogno di entrambi, anche se il primo si muoverà più velocemente.

Vaclav Sierpinski non ha mai parlato dei suoi successi nel 1920. Fino al 1939, questo doveva essere assolutamente tenuto segreto e, dopo il 1945, coloro che combatterono con la Russia sovietica non godettero della simpatia delle autorità di allora. La mia convinzione che gli scienziati siano necessari, come un esercito, è provata: "per ogni evenienza". Ecco il presidente Roosevelt che chiama Einstein:

L'eccezionale matematico russo Igor Arnold ha affermato apertamente e tristemente che la guerra ha avuto una grande influenza sullo sviluppo della matematica e della fisica (anche il radar e il GPS avevano un'origine militare). Non entro nell'aspetto morale dell'uso della bomba atomica: ecco il prolungamento della guerra per un anno e la morte di diversi milioni dei propri soldati - c'è la sofferenza di civili innocenti.

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Scappo in aree familiari - K. Molti di noi hanno giocato con i codici, forse esplorando, forse proprio così. I cifrari semplici, basati sul principio di sostituire le lettere con altre lettere o altri numeri, vengono regolarmente violati se cogliamo solo pochi indizi (ad esempio, indoviniamo il nome del re). Anche l'analisi statistica aiuta oggi. Peggio, quando tutto è mutevole. Ma la cosa peggiore è quando non c'è regolarità. Considera il codice descritto in Le avventure del buon soldato Schweik. Prendi un libro, ad esempio, The Flood. Ecco i suggerimenti nella prima e nella seconda pagina.

Vogliamo codificare la parola "CAT". Apriamo a pagina 1 e il secondo successivo. Troviamo che a pagina 1, la lettera K appare per la prima volta al 59° posto. Troviamo la cinquantanovesima parola sull'opposto, dall'altra parte. È una parola "a". Ora la lettera O. A sinistra c'è la sedicesima parola e la sedicesima a destra è "Mr." La lettera T è al 16° posto, se ho contato correttamente, e la novantacinquesima parola da destra è "o". Quindi, CAT = 95 LORD O.

Una cifra "inimmaginabile", anche se dolorosamente lenta sia per la crittografia che ... per indovinare. Supponiamo di voler passare la lettera M. Possiamo verificare se la codifichiamo con la parola "Wołodyjowski". E dopo di noi stanno già preparando una cella di prigione. Possiamo contare solo su un sostituto! Inoltre, il controspionaggio rileva segnalazioni di dipendenti segreti che da tempo i clienti acquistano volentieri il primo volume di The Flood.

Il mio articolo è un contributo a questa tesi: anche le idee più bizzarre dei matematici possono trovare applicazione in una pratica ampiamente intesa. Ad esempio, è possibile immaginare una scoperta matematica meno utile del criterio di divisibilità... per 47?

Quando ne abbiamo bisogno nella vita? E se è così, sarà più facile provare a separarlo. Se divide, allora va bene, se no, allora... secondariamente va bene (sappiamo che non divide).

Come condividere e perché

Dopo questa introduzione, passiamo a: voi lettori conoscete segni di divisibilità? Decisamente. I numeri pari finiscono con 2, 4, 6, 8 o zero. Un numero è divisibile per tre se la somma delle sue cifre è divisibile per tre. Allo stesso modo, con il segno di divisibilità per nove, la somma delle cifre deve essere divisibile per nove.

Chi ne ha bisogno? Mentirei se convincessi il Lettore che è bravo per qualcosa di diverso da... compiti scolastici. Bene, e un'altra caratteristica della divisibilità per 4 (e che cos'è, Lettore? Magari la userai quando vorrai sapere in quale anno cade la prossima Olimpiade...). Ma la caratteristica della divisibilità per 47? Questo è già un mal di testa. Sapremo mai se qualcosa è divisibile per 47? Se sì, prendi una calcolatrice e guarda.

Questo è. Hai ragione, Lettore. Eppure, continua a leggere. Prego.

Divisibilità per 47: Il numero 100+ è divisibile per 47 se e solo se 47 è divisibile per +8.

Il matematico sorriderà soddisfatto: "Accidenti, carina". Ma la matematica è matematica. Le prove contano e prestiamo attenzione alla sua bellezza. Come dimostrare il nostro tratto? È molto semplice. Sottrai da 100 + il numero 94 - 47 = 47 (2 -). Otteniamo 100+-94+47=6+48=6(+8).

Abbiamo sottratto un numero divisibile per 47, quindi se 6 (+ 8) è divisibile per 47, lo è anche 100 +. Ma il numero 6 è relativamente primo a 47, il che significa che 6 (+ 8) è divisibile per 47 se e solo se è + 8. Fine della dimostrazione.

Vediamo Qualche esempio.

8805685 è divisibile per 47? Se ci interessa davvero, lo scopriremo prima semplicemente dividendoci come ci insegnavano alle elementari. In un modo o nell'altro, ora c'è una calcolatrice in ogni telefono cellulare. Diviso? Sì, privato 187355.

Bene, vediamo cosa ci dice il segno della divisibilità. Scolleghiamo le ultime due cifre, le moltiplichiamo per 8, aggiungiamo il risultato al "numero troncato" e facciamo lo stesso con il numero risultante.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

Vediamo che 94 è divisibile per 47 (il quoziente è 2), il che significa che anche il numero originale è divisibile. Bene. Ma cosa succede se continuiamo a divertirci?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Ora dobbiamo fermarci. Quarantasette è divisibile per 47, giusto?

Abbiamo davvero bisogno di fermarci? E se andiamo oltre? Oh mio Dio, tutto può succedere... ometterò i dettagli. Forse solo l'inizio:

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752.

Ma, sfortunatamente, crea dipendenza come masticare semi...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, quarantasette. È successo prima. Qual è il prossimo? . Stesso. I numeri vanno in un ciclo come questo:

È davvero interessante. Così tanti loop.

due seguenti esempi.

Vogliamo sapere se 10017627 è divisibile per 47. Perché abbiamo bisogno di questa conoscenza? Ricordiamo il principio: guai alla conoscenza che non aiuta chi conosce. La conoscenza è sempre lì per qualcosa. Sarà per qualcosa, ma ora non mi spiego. Qualche altro account:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Ha cambiato suo zio da un'ascia a un bastone." Cosa otteniamo da tutto questo?

Bene, ripetiamo il corso del procedimento. Cioè, continueremo a farlo (ovvero la parola "iterare").

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Fermiamo il gioco, dividiamo come a scuola (o su una calcolatrice): 235 = 5 47. Bingo. Il numero originale 10017627 è divisibile per 47.

Ben fatto!

E se andiamo oltre? Credimi, puoi dare un'occhiata.

E un altro fatto interessante. Vogliamo verificare se 799 è divisibile per 47. Usiamo la funzione di divisibilità. Scolleghiamo le ultime due cifre, moltiplichiamo il numero risultante per 8 e aggiungiamo a ciò che resta:

799 → 7 + 8 = 99 + 7 = 792.

Cosa abbiamo? 799 è divisibile per 47 se e solo se 799 è divisibile per 47? Sì, è vero, ma per questo non è necessaria la matematica!!! L'olio è oleoso (almeno questo olio è oleoso).

Sulla foglia, sui pirati e sulla fine degli scherzi!

Altre due storie. Qual è il posto migliore per nascondere una foglia? La risposta è ovvia: nella foresta! Ma come trovarlo allora?

Il secondo lo sappiamo dai libri sui pirati che abbiamo letto molto tempo fa. I pirati hanno realizzato una mappa del luogo in cui hanno seppellito il tesoro. Altri l'hanno rubato o hanno vinto la battaglia. Ma la mappa non indicava a quale isola fosse destinata. E cerca te stesso! Naturalmente, i pirati hanno affrontato questa (tortura) - i codici di cui sto parlando possono anche essere estratti usando tali metodi.

Fine degli scherzi. Lettore! Creiamo una cifra. Sono una spia sotto copertura e uso "Tecnico Junior" come casella di contatto. Inoltrami i messaggi crittografati come segue.

Innanzitutto, converti il ​​testo in una stringa di numeri usando il codice: AB CDEFGH IJ KLMN SU RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Come puoi vedere, non usiamo segni diacritici polacchi (cioè senza ą, ę, ć, ń, ó, ś) e q, v non polacchi - ma la x non polacca è lì per ogni evenienza. Includiamo altri 25 come spazio (spazio tra le parole). Oh, la cosa più importante. Si prega di applicare il codice n° 47.

Sapete che cosa significa. Vai da un amico matematico.

Gli occhi dell'amico si spalancarono per la sorpresa.

Rispondi con orgoglio:

Un matematico ti ha dotato di questa caratteristica... e sai già che per la crittografia viene utilizzata una funzione dall'aspetto poco appariscente

perché un tale schema è un'azione descritta

100+→+8.

Quindi, quando vuoi sapere cosa significa un numero, come 77777777 in un messaggio crittografato, usi la funzione

100 + → +8

finché non ottieni un numero compreso tra 1 e 25. Ora guarda il codice alfanumerico esplicito. Vediamo: 77777777 →… Ve lo lascio come compito. Ma vediamo cosa nasconde la lettera 48? Leggiamo:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Quindi otteniamo a turno:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

La fine non è in vista. Solo dopo il sessantesimo (!) tempo apparirà un numero inferiore a 25. Questo è 3, il che significa che 48 è la lettera C.

E cosa ci dà questo messaggio? (Ti ricordo che utilizziamo il codice numero 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341.

Bene, pensaci, cosa c'è di così complicato, alcuni account. Abbiamo iniziato. Primi anni 80. Regola nota:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Continua così:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Mangiare! La prima lettera del messaggio è K. Accidenti, facile, ma quanto tempo ci vorrà?

Vediamo anche quanti problemi abbiamo con il numero 1234567. Solo alla sedicesima volta otterremo un numero inferiore a 25, ovvero 12. Quindi 1234567 è L.

Va bene, si potrebbe dire, ma questa operazione aritmetica è così semplice che programmarla su un computer interromperà immediatamente il codice. Si è vero. Questi sono semplici calcoli al computer. idea con cifra pubblica e si tratta anche di rendere difficili i calcoli per il computer. Lascia che funzioni per almeno cento anni. Decripterà il messaggio? Non importa. Non importerà per molto tempo. Questo è (più o meno) ciò di cui trattano i cifrari pubblici. Possono rompersi se lavori per molto tempo ... fino a quando le notizie non sono più rilevanti.

 ha sempre dato vita a "controarmi". Tutto è iniziato con una spada e uno scudo. I servizi segreti pagano ingenti somme di denaro a matematici dotati per inventare metodi di crittografia che i computer (compresi quelli creati da noi) non saranno in grado di decifrare nel XIX secolo.

ventiduesimo secolo? Non è poi così difficile sapere che ci sono già tante persone nel mondo che vivranno in questo bel secolo!

Ah eh? E se chiedo (a me, l'Ufficiale Segreto contattato dal “Giovane Tecnico”) di cifrare con il codice numero 23? O 17? Semplice:

Possiamo non dover mai usare la matematica per tali scopi.

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Il titolo dell'articolo parla di poesia. Cosa c'entra lei con esso?

Tipo cosa? La poesia crittografa anche il mondo.

Come?

Con i loro metodi - simili a quelli algebrici.