Premio Abele

Pochi lettori diranno qualcosa sul nome Abel. No, non si tratta dello sfortunato giovane ucciso da suo fratello Caino. Mi riferisco al matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802–1829) e al premio a lui intitolato che è stato appena assegnato (16 marzo 2016) dall'Accademia norvegese delle scienze e alle lettere a Sir Andrew J. Wiles. Questo compensa i matematici per essere stati esclusi da Alfred Nobel nella classifica di categoria del premio scientifico più importante del mondo.

Sebbene i matematici apprezzino il cosiddetto. Medaglia Campi (ufficialmente considerato l'alloro più alto nel suo campo), è associato a soli 15mila. (non milioni, migliaia!) Dollari canadesi fino al vincitore Premi Abele si mette in tasca un assegno da 6 milioni di corone norvegesi (circa 750 8 euro). I premi Nobel ricevono 865 milioni di corone svedesi, ovvero circa XNUMXmila. euro - meno dei tennisti per aver vinto un grande torneo. Ci sono diverse probabili ragioni per cui Alfred Nobel non ha incluso i matematici tra i possibili vincitori del premio. Il testamento di Nobel trattava di "invenzioni e scoperte" che portano il massimo beneficio all'umanità, ma probabilmente non teoriche, ma pratiche. La matematica non era considerata una scienza che potesse portare benefici pratici all'umanità.

Perché Abele

Chi era Niels Henrik Abel e come è diventato famoso? Deve essere stato brillante, perché sebbene sia morto di tubercolosi all'età di soli 27 anni, aveva un posto fisso in matematica. Ebbene, già alle scuole medie ci insegnano a risolvere le equazioni; primo grado prima, poi quadrato e talvolta cubico. Già quattrocento anni fa, gli scienziati italiani erano in grado di farcela equazione quarticaanche quello che sembra innocente:

e di cui uno degli elementi

Sì, gli scienziati avrebbero potuto farlo già nel XIX secolo. Non è difficile intuire che siano state prese in considerazione equazioni di grado superiore. E niente. Nessuno è riuscito in duecento anni. Anche Niels Abel ha fallito. E poi si è reso conto che... forse non è affatto possibile. Si può provare l'impossibilità di risolvere una simile equazione - o meglio, esprimere la soluzione in semplici formule aritmetiche.

Era il primo di 2. anni (!) di questo tipo di ragionamento: qualcosa non si può provare, qualcosa non si può fare. Il monopolio di tali dimostrazioni appartiene alla matematica: le scienze pratiche stanno sempre più rompendo le barriere. Nel 1888, il presidente della US Patent Commission dichiarò che "ci si aspettano poche invenzioni in futuro, perché quasi tutto è già stato inventato". Oggi è difficile anche solo ridere di questo... Ma in matematica, una volta provato, si perde. Non si può fare.

La storia divide la scoperta che ho descritto tra Niels Abele i Evarista Galois, entrambi morirono prima dei XNUMX anni, sottovalutati dai coetanei. Niels Abel è uno dei pochi matematici norvegesi con ampia fama (in realtà due, l'altro lo è Sofu Li, 1842-1899 - i cognomi non suonano scandinavi, ma entrambi erano norvegesi nativi).

I norvegesi sono in disaccordo con gli svedesi - sfortunatamente, questo è comune tra i popoli vicini. Uno dei motivi per l'istituzione del Premio Abel da parte dei norvegesi è stato il desiderio di mostrare ai loro connazionali Alfred Nobel: per favore, non siamo peggio.

Inseguire un'entrata di margine inesistente

Ecco Niels Henrik Abel per te. Ora sul vincitore del premio, un inglese di 63 anni (che vive negli Stati Uniti). La sua impresa nel 1993 può essere paragonata solo alla scalata dell'Everest, alla scalata della luna o qualcosa del genere. Chi è signore Andrea Wiles? Se guardi l'elenco delle sue pubblicazioni e i vari possibili indici di citazioni, sarà un bravo scienziato: ce ne sono migliaia. Tuttavia, è considerato uno dei più grandi matematici. La sua ricerca riguarda la teoria dei numeri e utilizza le relazioni con geometria algebrica Oraz teoria della rappresentazione.

Divenne famoso per aver risolto un problema del tutto insignificante dal punto di vista della matematica dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat (chi non sa cosa sta succedendo - te lo ricordi di seguito). Tuttavia, il vero valore non era la soluzione in sé, ma la creazione di un nuovo metodo di prova che è stato utilizzato per risolvere molti altri importanti problemi.

È impossibile non riflettere a questo punto sull'importanza di alcune questioni, sulla gerarchia delle conquiste umane. Centinaia di migliaia di giovani sognano di calciare il pallone meglio di altri, decine di migliaia vogliono esporsi ai venti himalayani, saltare dalla gomma su un ponte, emettere suoni che chiamano canti, infilare cibo malsano negli altri... o risolvere un'equazione non necessaria per chiunque. Il primo conquistatore dell'Everest, Sir Edward Hillary, ha risposto direttamente alla domanda sul perché è andato lì: "Perché lo è, perché l'Everest lo è!" L'autore di queste parole è stato un matematico per tutta la vita, è stata la mia ricetta per la vita. L'unico corretto! Ma finiamola con questa filosofia. Riprendiamo il sano cammino della matematica. Perché tutto questo clamore sul teorema di Fermat?

Immagino che sappiamo tutti cosa sono numeri primi. Sicuramente tutti capiscono la frase "scomporre in fattori primi", soprattutto quando nostro figlio trasforma gli orologi in parti.

Pierre de Fermat (1601-1665) fu avvocato di Tolosa, ma si occupò anche di matematica amatoriale e con discreti risultati, perché passò alla storia della matematica come autore di molti teoremi della teoria e dell'analisi dei numeri. Era solito mettere le sue osservazioni e commenti a margine dei libri che leggeva. Ed esattamente - intorno al 1660, scrisse in uno dei margini:

Ecco Pierre de Fermat per te. Dal suo tempo (e permettetemi di ricordarvi che il valoroso nobile guascone d'Artagnan visse in Francia a quel tempo, e Andrzej Kmitsich combatté con Bohuslav Radziwill in Polonia), centinaia, e forse anche migliaia di grandi e piccoli matematici tentarono senza successo di ricostruire il ragionamento perduto di un brillante dilettante. Sebbene oggi siamo sicuri che la dimostrazione di Fermat non possa essere corretta, era fastidioso che la semplice domanda se equazione xⁿ + tuⁿ = gⁿ, n> 2 ha soluzioni in numeri naturali? può essere così difficile.

Molti dei matematici che vennero al lavoro il 23 giugno 1993 trovarono nella loro e-mail (che allora era un'invenzione fresca e ancora calda) un laconico messaggio: "Voci dalla Gran Bretagna: Wiles dimostra Fermat". Il giorno dopo, la stampa quotidiana ne ha scritto e l'ultima serie di conferenze di Wiles ha riunito la stampa, la televisione e i fotoreporter, proprio come a una conferenza di un famoso calciatore.

Chiunque legga "Satana della seconda media" di Kornel Makuszyński ricorda sicuramente ciò che fece il signor Iwo Gąsowski, fratello del professore di storia, il cui sistema di interrogatorio degli studenti scoperto da Adaś Cisowski, fece. Iwo Gąsowski stava risolvendo l'equazione di Fermat, perdendo tempo, proprietà e trascurando la casa:

Alla fine, il signor Iwo capì che i conti sui poteri non avrebbero assicurato la felicità della famiglia e si arrese. A Makuszyński non piaceva la scienza, ma aveva ragione sul signor Gąsowski. Iwo Gąsowski ha commesso un errore fondamentale. Non ha cercato di diventare uno specialista nel buon senso della parola, ma si è comportato come un dilettante. Andrew Wiles è un professionista.

La storia della lotta contro l'ultimo teorema di Fermat è interessante. Si può vedere molto semplicemente che è sufficiente risolverli per esponenti che sono numeri primi. Per n = 3 la soluzione fu data nel 1770. Leonard Euler, per n = 5 – Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1828) e Adrian Marie Legendre nel 1830, e in n = 7 – Gabriele Lame nel 1840. Nel diciannovesimo secolo, il matematico tedesco dedicò la maggior parte delle sue energie al problema di Fermat Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Sebbene non ottenne il successo finale, dimostrò un gran numero di casi speciali e scoprì molte proprietà importanti dei numeri primi. Gran parte dell'algebra moderna, dell'aritmetica teorica e della teoria algebrica dei numeri deve la sua origine al lavoro di Kummer sul teorema di Fermat.

Nel risolvere il problema di Fermat con i metodi della teoria classica dei numeri, sono stati divisi in due diversi casi di complessità: il primo, quando assumiamo che il prodotto xyz sia coprime con l'esponente n, e il secondo, quando il numero z è ugualmente divisibile per il esponente. Nel secondo caso, era noto che non esistevano soluzioni fino a n = 150 e nel primo caso fino a n = 000 (Lehmer, 6). Ciò significava che un eventuale controesempio sarebbe stato comunque impossibile: per ottenerlo sarebbero servite fatture da miliardi di cifre.

Ecco una vecchia storia per te. All'inizio del 1988, nel mondo matematico era noto che Yoiti Miyaoka ha dimostrato una certa disuguaglianza, da cui è seguito quanto segue: se solo l'esponente n è abbastanza grande, allora l'equazione di Fermat non ha certamente soluzioni. Rispetto al risultato leggermente precedente del tedesco Gerd Falting (1983) Il risultato di Miyaoka significava che se ci sono soluzioni, allora (in termini di proporzionalità) ce n'è solo un numero finito. Pertanto, la soluzione del problema di Fermat si riduce a elencare la fine di molti casi. Purtroppo, quanti di loro non erano noti: i metodi utilizzati da Miyaoka non consentivano una stima di quanti fossero già "ok".

Vale la pena notare qui che per molti anni lo studio del teorema di Fermat è stato condotto non nell'ambito della pura teoria dei numeri, ma nell'ambito della geometria algebrica, disciplina matematica derivata dall'algebra e estensione della geometria analitica cartesiana, e ora diffondendosi un po' ovunque: dai fondamenti della matematica (topoi di teoria in logica), attraverso l'analisi matematica (metodi coomologici, fasci funzionali), la geometria classica, alla fisica teorica (fasci vettoriali, spazi di twistor, solitoni).

Quando gli onori non interessano

È anche difficile non essere tristi per la sorte del matematico, il cui contributo alla soluzione del problema di Fermat è molto significativo. Sto parlando di ArakielSuren Yurievich Arakelov, matematico ucraino di origini armene), che all'inizio degli anni '80, quando era al quarto anno, creò il cosiddetto. teoria dell'intersezione sulle varietà aritmetiche. Tali superfici sono piene di buchi e imperfezioni e le curve su di esse possono improvvisamente scomparire e poi riapparire. La teoria dell'intersezione spiega come calcolare il grado di intersezione di tali curve. Era lo strumento principale utilizzato da Faltings e Miyaoka nel loro lavoro sul problema di Fermat.

Una volta Arakelov fu invitato a presentare i suoi risultati a un grande congresso di matematica. Tuttavia, poiché era critico nei confronti del sistema sovietico, gli fu negato il permesso di andarsene. Presto fu arruolato nell'esercito. Ha dimostrato con aria di sfida di essere contrario al servizio militare in generale per motivi pacifisti. Come ho appreso da fonti piuttosto dubbie, sarebbe stato mandato in un ospedale psichiatrico chiuso, dove ha trascorso circa un anno. Come sapete, a quanto pare per scopi politici, gli psichiatri sovietici hanno individuato un tipo speciale di schizofrenia (in inglese da, che significa "lento", in russo schizofrenia pigra).

È difficile dire al cento per cento come fosse realmente, perché le mie fonti di informazioni non sono molto affidabili. Apparentemente, dopo aver lasciato l'ospedale, Arakelov trascorse diversi mesi in un monastero a Zagorsk. Attualmente vive a Mosca con la moglie e tre figli. Non fa matematica. Andrew Wiles è pieno di onori e denaro.

Dal punto di vista di una società europea ben nutrita, il passo è anche incomprensibile Grigory Perelman, che nel 2002 ha risolto il problema topologico più famoso del XX secolo,Congettura di PoinariE poi ha rifiutato tutti i possibili premi. Prima la Medaglia Fields citata all'inizio, che i matematici considerano equivalente al Premio Nobel, e poi il premio di un milione di dollari per aver risolto uno dei sette problemi matematici più importanti rimasti dal XX secolo. "Altri erano migliori, non mi interessano gli onori, perché la matematica è il mio hobby, ho cibo e sigarette", ha detto più o meno al mondo stupito.

Successo dopo oltre 300 anni

Il grande teorema di Fermat fu sicuramente il problema matematico più famoso ed efficace. Era aperto da oltre trecento anni, era formulato in modo molto chiaro e leggibile ed era teoricamente possibile attaccare da chiunque, e nell'era della divulgazione dei computer era relativamente facile tentare di battere un altro record nella valutazione possibili soluzioni. Nella storia della matematica questa questione, attraverso il suo ruolo ispiratore, ha svolto un ruolo molto importante di "formazione culturale", contribuendo all'emergere di intere discipline matematiche. Questo è strano poiché il problema in sé è relativamente banale e la semplice informazione sulla mancanza di radici nell'equazione di Fermat non ha contribuito molto alla tesoreria generale della conoscenza matematica.

Nel 1847 Gabriel Lamet (1795-1870) tenne una conferenza all'Accademia francese delle scienze annunciando la soluzione al problema di Fermat. Tuttavia, si è subito notato un sottile errore di ragionamento. Si basava sull'uso non autorizzato del teorema di decomposizione unica. Ricordiamo da scuola che ogni numero ha una scomposizione univoca in fattori primi, ad esempio 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Il numero 503 non ha divisori (tranne 1 e 503 stesso), quindi non può essere ulteriormente esteso.

La proprietà di unicità della distribuzione è posseduta dagli interi positivi, ma tra gli altri insiemi numerici non è necessario che lo siano. Ad esempio, per i numeri dei caratteri

mamma 36 = 2²⋅2³ ,ma anche

Analizzando la dimostrazione di Lame, Kummer poté provare la validità della congettura di Fermat per alcuni esponenti di p. Li chiamava numeri primi regolari. Questo è stato il primo passo importante verso una dimostrazione completa. Intorno al teorema di Fermat è sorto un mito. "O forse è anche peggio - forse non puoi nemmeno dimostrare che è possibile o impossibile da risolvere?"

Ma dagli anni '80 tutti sentivano che l'obiettivo era vicino. Ricordo che il muro di Berlino era ancora in piedi e stavo già ascoltando lezioni su "presto, tra un momento". Beh, qualcuno doveva essere il primo. Andrew Wiles ha concluso la sua conferenza con una flemma inglese: "Penso che Fermat lo dimostri", e ci è voluto del tempo prima che il pubblico affollato si rendesse conto di quello che era successo: un problema matematico di 330 anni è stato intensamente lavorato da centinaia di matematici del reggimento stesso e innumerevoli dilettanti, come Ivo Gonsovsky dei romanzi di Makushinsky. E Andrew Wiles ha avuto l'onore di stringere la mano ad Harald V, re di Norvegia. Forse non ha prestato attenzione alla modesta indennità per il Premio Abel, circa diverse centinaia di migliaia di euro - perché ha bisogno di così tanti soldi?